Matek!!!! SOS

A legegyszerűbb a második:

2) Egy másodfokú kifejezés az két elsőfokúnak a szorzata (ha van gyöke).
Az elsőfokú olyan, hogy az `x`-ből a gyök van kivonva. Vagyis most a két elsőfokú ez:
`x-(-3)`
`x-5`
Ezek szorzata: `(x-(-3))(x-5)`
Így jobban néz ki: `(x+3)(x-5)`
Be kell szorozni mindent mindennel:
`=x·x+3·x-5·x-3·5`
`= x^2-2x-15`

1.a)
Megoldani a megoldóképlettel lehet.
Az általános másodfokú egyenlet ilyen: `ax^2+bx+c=0`
Most a tényezők ezek: `\ a=-1,\ \ b=-5,\ \ c=6`
A megoldóképletet remélem tudod fejből: `x_(12)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
Most:
`x_(12)=(-(-5)+-sqrt((-5)^2-4·(-1)·6))/(2·(-1))`
`x_(12)=(5+-sqrt(25+24))/(-2)`
`x_(12)=(5+-7)/(-2)`
`x_1=(12)/(-2)=-6`
`x_2=(-2)/(-2)=1`

1.b)
Mivel megvannak a gyökök, hasonlóképpen lehet szorzatot csinálni, mint a 2)-nél. Azzal ez jönne ki: (még ez nem lesz jó...)
`(x-(-6))(x-1)=(x+6)(x-1)`
Vigyázni kell viszont arra, hogy ezzel a módszerrel `x^2` jön ki, most pedig `-x^2` van. Ezért a végén az egészet szorozni kell `-1`-gyel:
`-(x+6)(x-1)`
`=(x+6)(1-x)`

(Lehetett volna ez is: `(-x-6)(x-1)`, a lényeg, hogy csak az egyiket kellett beszorozni a -1-gyel)

------------
Ha mondjuk `2x^2+10x-12=0` lett volna az egyenlet (ami az előzőnek a -2-szerese), annak is ugyanazok a gyökei (-6 és 1). Vagyis abból is `(x+6)(x-1)` jön ki első lépésben szorzatként, ami persze még nem jó. Be kell szorozni az `x^2` együtthatójával, vagyis 2-vel, vagyis `(2x+12)(x-1)` lesz mondjuk a szorzat, vagy esetleg `(x+6)(2x-2)`, ha a másikat szorozzuk be.

3.a)
Most nem szabad használni a megoldóképletet. A legegyszerűbb és leggyorsabb, ha a diszkriminánst nézzük meg. Tudod, az van a gyök alatt a megoldóképletben:
`D=b^2-4ac=(-5)^2-4·2·(-7)=25+56=81`
Ha ez pozitív, akkor 2 valós gyök van. Ha 0, akkor 1 valós gyök van. Ha pedig negatív, akkor egy sincs.
Kész.

------------

Az van a papírra írva, hogy teljes négyzettel... Úgy is lehet, az kicsit hosszabb.

- 1. lépés: az egyenletet `valami = 0` alakra hozzuk. Ez eleve olyan:
`2x^2-5x-7=0`
- 2. lépés: osztunk az `x^2` együtthatójával, ami most 2:
`x^2-5/2x-7/2=0`
- 3. lépés: az `x` együtthatójának (ami `-5/2`) vesszük a felét (ami `-5/4`), és azzal csinálunk egy négyzetes kifejezést ilyen módon:
`(x-5/4)^2-(-5/4)^2-7/2=0`
`(x-5/4)^2-(25)/(16)-7/2=0`
`(x-5/4)^2-(25)/(16)-(8·7)/(16)=0`
`(x-5/4)^2-(25+56)/(16)=0`
`(x-5/4)^2-(81)/(16)=0`
Ezt hívjuk teljes négyzetnek.
Ha ilyenkor kivonás van (mint most, vagyis kivonjuk a `(81)(16)`-ot), akkor két valós gyök lesz. Ha összeadás lenne, akkor nem lenne valós gyök. Ha egyik sincs (tehát 0 lesz ott), akkor 1 valós gyök van.

----
A 3. lépés kicsit bonyolult, leírom általánosan:
Ha ilyen a kifejezés: `x^2+bx+c`
Akkor ez lesz belőle: `(x+b/2)^2-(b/2)^2+c`

Ha ilyen a kifejezés: `x^2-bx+c`
Akkor ez lesz belőle: `(x-b/2)^2-(b/2)^2+c`
Itt is `-(b/2)^2` van!
A végén a `c` marad úgy, ahogy volt. Vagyis ha mondjuk `-3` volt, akkor az is marad.

b)
Ennek szebb lesz a teljes négyzete, nem lesznek benne törtek...
- 1. lépés: most nincs is =0, jó így
- 2. lépés: osztunk 2-vel:
`x^2+4x-2`
- 3. lépés: az `x`-es tag együtthatója +4, annak a felével (+2) kell megcsinálni a négyzetes dolgot:
`(x+2)^2-(+2)^2-2`
`(x+2)^2-4-2`
`(x+2)^2-6`

Kész is lenne, de mivel most nem egyenletről volt szó, hanem kifejezésről, a 2-vel osztást (2. lépés) vissza kell csinálni, szorozni kell 2-vel:
`2((x+2)^2-6)`