Trigonometrikus egyenlet

Először is, az első egyenletet vizsgáljuk. A sinusz négyzetének értéke mindig 0 és 1 között van, tehát a bal oldalnak legalább két tagja 0 és legalább egy tagja 1. Mivel a bal oldal három tagja van, azok összege legfeljebb 2. Az egyenletben azonban az összeg 3/2, ami ellentmondás. Tehát az első egyenletnek nincs megoldása.

Most vizsgáljuk a második egyenletet. Vegyük a sinusz negyedik hatványát mindkét oldalon:

sin^4(t) + sin^4(x-t) + sin^4(x+t) = 9/8

Az első egyenlettel ellentétben itt minden tag nemnegatív, így a bal oldalon a három tag összege legalább 0 és legfeljebb 3/2. A jobb oldalon az érték 9/8. Ez azt jelenti, hogy mindhárom tag együttesen nem lehet 0, vagyis mindegyiknek pozitívnak kell lennie.

A sinusz negyedik hatványa azt jelenti, hogy a sinusz értéke abszolútértvéként is figyelembe van véve. Ez azt jelenti, hogy mind a pozitív, mind a negatív értékek egyformán jelennek meg. A sinusz abszolútértéke maximum 1, így a bal oldalon a három tag abszolútérték összege legfeljebb 3. Ha legalább két tag nulla lenne, akkor a harmadik tag abszolútértéke lenne nagyobb mint 1, ami ellentmondás. Tehát mindhárom tagnak kisebbnek kell lennie, mint 1.

Egy olyan számot keresünk, amelyre mindhárom sinusz értéke megegyezik a pozitív gyökök közül valamelyikével. Tekintsük a sin^4(x-t) tagot. Ha x-t helyett -x-t vesszük, akkor a tag értéke nem változik, csak az előjel változik. Így a helyettesítés után a bal oldal:

sin^4(t) + sin^4(-x-t) + sin^4(-x+t) = 9/8

A sinusz negyedik hatványának abszolútértéke nem függ az előjeltől, így a bal oldalon mindhárom tag értéke megegyezik a pozitív gyökök közül valamelyikével. Tehát az egyenletnek van megoldása.

Azt azonban még nem tudjuk, hogy pontosan melyik pozitív gyököt kell használni minden sinusz értékéhez. Ennek a megoldása nagyon bonyolult lehetne, de szerencsére a feladat nem kéri a pontos értékeket, csupán az összes megoldást.

2. Egyenlet megoldása:
Kezdjük azzal, hogy megállapítjuk az egyenlet tartományát. Mindenhol érvényes, hogy a szinusznak a -1 és 1 között kell lennie, így minden tag értéke legalább 0 és legfeljebb 3/4. A jobb oldal értéke 9/8, ami kisebb, mint a bal oldal legkisebb lehetséges értéke (0). Ezért az egyenletnek nincs megoldása.

Összefoglalva, az első egyenlet megoldása:

x = 2kπ, k ∈ ℤ vagy x = π/2 + 2kπ, k ∈ ℤ

Míg a második egyenletnek nincs megoldása.

A megoldás elég nagy terjedelmű, így inkább papírra írtam le, és ide csak a szöveges kiegészítéseket fogom leírni.

Mindkét példánál úgy kell elindulni, hogy tömegesen alkalmazzuk a koszinuszra vonatkozó linearizáló (hatványcsökkentő) formulát, és a rá vonatkozó addíciós tételeket. Ezek a következők:

`cos^2x = (1+cos(2x))/2`

`cos(alpha+beta) = cosalpha*cosbeta-sinalpha*sinbeta`

`cos(alpha-beta) = cosalpha*cosbeta+sinalpha*sinbeta`

Szorzattá alakítjuk a bal oldalt, majd vizsgálódunk. Ha `cos(2t) = 0` azaz `t=pi/4+k*pi/2\qquad k\in\mathbb{Z}`, akkor a bal oldal 0, és egyenlőséget kapunk, ebben az esetben tehát minden valós szám megoldás az `x`-re.

Ha `cos(2t) != 0`, azaz `t!=pi/4+k*pi/2\qquad k\in\mathbb{Z}`, akkor a másik tényezőnek kell 0-nak lennie. Rendezés után kapunk két megoldás halmazt, ezek `x=pi/3+l*pi\qquad \vee \qquad x=2/3pi+m*pi\qquad l,m in mathbb{Z}`

A második példa már jóval nehezebb. A kezdeti tételek alkamazása után itt is szorzattá alakítunk. Ehhez az egyik lépésben a `2cos(4x)+1`-es tényezőt átalakítjuk, így már szorzattá tudjuk alakítani az egész bal oldalt. Ezután itt is vizsgálódunk.

Az egyik tényező nem függ t-től, így ha ez egyenlő 0-val, akkor az egész bal oldal értéke 0 t-től függetlenül, és egyenlőséget kapunk. Ezt az egyenletet már korábban megoldottuk, nyilván a megoldások ugyanazok. Ezek adják az egyenlet "fix metszéspontjait", ezek t tetszőleges értéke esetén megoldások. A szorzat másik tényezője adja a "mozgó, felbukkanó" metszéspontokat.

Ha `cos(4t) = 0`, azaz `t=pi/8+m*pi/4\qquad m in mathbb{Z}`, akkor a jobb oldal `2sqrt{2}`, ami ellentmondás, hiszen nem egyenlő 0-val, tehát ezen t értékek esetén nem kapunk újabb megoldásokat. Ha t nem egyenlő ezekkel az értékekkel, akkor az előbbi tényezővel oszthatunk, és rendezés után két megoldáshalmazt kapunk:

`x=1/2*cos^{-1}((4cos(2t))/(cos(4t))+1/2)+n*pi\qquad \vee \qquad x=pi-1/2*cos^{-1}((4cos(2t))/(cos(4t))+1/2)+p*pi\qquad n,p in mathbb{Z}`

Az utolsó előtti lépés viszont, amikor visszakeressük a koszinusz értékét, csak akkor végezhető el, ha a jobb oldal a `[-1,1]` intervallumba esik, ezért tovább két egyenlőtlenséget kell még megoldani. Ezen a ponton már kezdtek elfogyni az abc betűi, úgyhogy néhol egy kissé lehet következetlen, de a periódusoknál értelemszerűen mindig a megfelelő egészekkel kell szorozgatni. Rendezések után az egyenlőtlenségek jobb oldalán 0-k állnak, így elkezdjük vizsgálni a törtek számlálóit és nevezőit. Itt a számlálóknál minden esetben egy másodfokú trigonometrikus egyenlőtlenséghez jutunk, még a nevezők egy egyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenséget adnak. A megfelelő intervallumok meghatározása után egy kis számológépes próbálgatást követően meghatározhatóak a metszet intervallumok. A középső rész sajnos egy kissé zsúfoltra sikeredett, ezt a részt utólag kellett javítanom és kiegészítenem.

Összefoglalva, t tetszőleges értéke esetén megoldások, az `x=pi/3+k*pi\qquad \vee \qquad x=2/3pi+k*pi\qquad k,l in mathbb{Z}` halmazok, ha pedig `t in [0.63+a*pi;0.846+a*pi]\cup [2.295+b*pi;2.511+b*pi]\qquad a,b in mathbb{Z}`, akkor megoldások az

`x=1/2*cos^{-1}((4cos(2t))/(cos(4t))+1/2)+n*pi\qquad \vee \qquad x=pi-1/2*cos^{-1}((4cos(2t))/(cos(4t))+1/2)+p*pi\qquad n,p in mathbb{Z}`

halmazok.