Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Gúla

94
Egy szabályos négyoldalú csonkagúla alapéle 10cm, a fedőéle 4cm, a magassága 6cm hosszú. Hol kell a csonkagúlát az alappal párhuzamos síkkal elmetszeni úgy, hogy a keletkezett két test térfogata egyenlő legyen?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Csatolt képen a megoldás. Felhasználjuk, hogy a csonkagúla térfogata: `V=m/3(T^2+\sqrt{T*t}+t^2)`, ahol m a magasság, T és t pedig rendre az alap és fedőnégyzetek területei. Először egy változóval felírjuk valahogyan a magasságnak a kettéosztását, majd ezt felhasználva mindkét keletkezett csonkakúp térfogatát és egyenlővé tesszük őket.

Vegyük egy keresztmetszetét a csonkagúlának, mivel az szabályos, így egy szimmetrikus trapézt kapunk, ahol a trapéz alapjai a csonkagúla alap és fedőélek, magassága a csonkagúla magassága. Itt ha jó helyre húzzuk be két oldalt a magasságvonalat, akkor kapunk két derékszögű háromszöget. Az egyik ilyenben jelöljük `x`-el a vágás után keletkezett felső csonkagúla magasságát. Mivel a magasság 6, így az alsó csonkagúla magassága `6-x`. Ahol összeérnek, ott egy harmadik élhosszúságú négyzet keletkezik, aminek az éle egyben egy, a trapéz közepén futó, az alapokkal párhuzamos egyenes a keresztmetszetben. A középső része értelemszerűen 4, a két szélét pedig az előbb kapott derékszögű háromszögekben hasonlóság alapján fel tudjuk írni `x`-el.

Felírjuk mindkét gúlára a térfogat képletet, és egyenlővé tesszük őket, ezt az egyenletet kell megoldanunk. Rendezések után egy harmadfokú egyenlethez jutunk. Kis nézelődés után láthatjuk, hogy a baloldalt ki tudjuk egészíteni egy teljes köbbé, és így megkapjuk az egyetlen megoldást, ennek a kerekített értéke van a végén leírva.
Módosítva: 1 éve
0