Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Nagyon fontos lenne, ha valaki tudna segíteni a megoldásban!
Delll85
kérdése
549
1. Adott két halmaz: A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek: B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az An B és a BA halmazokat.
2. Egy kutyakiállításra 15-en neveztek be, mindenki egy kutyával. Hányféleképpen sorakozhatnak fel egymás mellett, ha a kutyák és gazdáik felváltva állnak?
3. Adjon meg két olyan halmazt, amelyek metszete véges elemszámú, uniója pedig végtelen!
4. Hány háromjegy számot képezhetünk az 1,2,3,5 számjegyekből, ha nem engedjük meg az ismétlődést?
5. Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő pozitiv egész szám szorzata osztható 24-gyel!
7. 1470 forintot akarunk kifizetni barátunknak 20 és 50 forintos érmékben úgy, hogy mindegyik fajtából ugyanannyit adjunk. Megoldható ex?
8. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 1 és 2, a háromszög legkisebb szöge α Mennyi cos α pontos értéke?
10. Milyen hosszú egyenes út vezet fel egy 200 m magasan levő kilátóhoz, ha az út emelkedési szöge 15-os?
2. Egy kutyakiállításra 15-en neveztek be, mindenki egy kutyával. Hányféleképpen sorakozhatnak fel egymás mellett, ha a kutyák és gazdáik felváltva állnak?
3. Adjon meg két olyan halmazt, amelyek metszete véges elemszámú, uniója pedig végtelen!
4. Hány háromjegy számot képezhetünk az 1,2,3,5 számjegyekből, ha nem engedjük meg az ismétlődést?
5. Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő pozitiv egész szám szorzata osztható 24-gyel!
7. 1470 forintot akarunk kifizetni barátunknak 20 és 50 forintos érmékben úgy, hogy mindegyik fajtából ugyanannyit adjunk. Megoldható ex?
8. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 1 és 2, a háromszög legkisebb szöge α Mennyi cos α pontos értéke?
10. Milyen hosszú egyenes út vezet fel egy 200 m magasan levő kilátóhoz, ha az út emelkedési szöge 15-os?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
kormosmate2
válasza
1. Írjuk fel a két halmazt: `A={2,4,6,8} \quad B={6,12,18,24}`. Nem tudom pontosan mire gondoltál, hogy mit kell megadni, úgyhogy következtetek. Az első metszetnek tűnik, így: `AcapB = {6}`, a másikról pedig felteszem különbséget jelent, így: `B\setminusA = {12,18,24}`
2. Először a sorrendre tekintet nélkül elhelyezünk mindenkit a feladat feltételeinek megfelelően. Felvátva állnak emberek és kutyák. Mivel ugyanannyian vannak, ezért két lehetőség van, mindenkitől jobbra vagy mindenkitől balra lesz kutya (másképpen mondva, a sornak vagy csak az egyik, vagy a másik végét zárja pl. kutya). Ezenfelül az emberek és a kutyák még egymás között is helyet cserélhetnek (azaz egy ember, csak egy másik emberrel cserélhet helyet, kutyák ugyanígy), ez csoportonként még `5!` féle sorrend. Tehát a lehetséges felsorakkozások száma: `2*5!*5! = 28\quad 800`
3. Vegyünk két síkbeli metsző egyenest. A két halmaz a két egyenes pontjai. Mivel ezek önmagukban is végtelenek, az uniójuk is az lesz, metszetük pedig egy elemű, ez az elem a metszéspont.
Egy másik lehetséges megoldás: Legyen a két halmaz a páros számok és a prímszámok halmaza. Mindkettő halmaz végtelen, így az uniójuk is, metszetük egy elemű, ez az elem a 2.
4. Az első helyre 4 féle szám mehet, második helyre már csak 3, utolsó helyre 2-t: `4*3*2 = 24`
5. Mivel a 24 olyan összetett szám, ami nem 2 és/vagy 5 hatvány, ezért azt kell belátni, hogy a szorzat osztható 24 egy relatív prímekből álló felbontásában mindegyik tényezővel. Relatív prím azt jelenti, hogy az 1 kivételével nincs közös osztójuk (azaz a legnagyobb közös osztójuk az 1). Emiatt nem felel meg pl. sem a 2*12, sem a 6*4, de a 3*8 jó lesz. Tehát azt kell megmutatni, hogy a szorzat osztható 3-al is és 8-al is (másképpen mondva, ezek többszöröse a szorzat).
Négy egymást követő szám között biztosan van legalább egy 3-al osztható, így a szorzat is 3 többszöröse, azaz osztható 3-al.
Négy egymást követő szám között biztosan van két db páros szám, ezek közül az egyik 4-el is osztható, így ezen két szám szorzata osztható 8-al, és így az egész szorzat is.
Tehát négy egymást követő szám szorzata mindig osztható 3-al és 8-al is, ebből következően 24-el is.
7. Legyen mindkét érme fajtából `x` db. Ekkor `20x+50x=1470 Rightarrow 70x = 1470 Rightarrow x = 21`
Tehát megoldható, ha mindkét érméből 21 db-ot adunk.
8. Az átfogó hossza Pitagorasz-tétellel: `\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}`. Rövidebb oldallal szemben kisebb szög található, így ha `alpha` a háromszög legkisebb szöge, akkor vele szemben az 1 hosszúságú befogó van, így pedig a mellette lévő a 2 hosszúságú. Mivel egy szög koszinusza derékszögű háromszögben = szög melleti befogó/átfogó, így `cos alpha = 2/\sqrt{5}`
10. Ezeket az adatokat elképzelhetjük egy derékszögű háromszögben. A 15°-os szöggel szemben a domb magassága van, azaz ez a befogó 200 m hosszúságú. A kérdés a háromszög átfogója, ezt szinusszal tudjuk számolni. Jelüljök az átfogót `x`-el, ekkor:
`sin 15^circ = 200/x Rightarrow x = 200/(sin 15^circ) approx 772.7407` m
2. Először a sorrendre tekintet nélkül elhelyezünk mindenkit a feladat feltételeinek megfelelően. Felvátva állnak emberek és kutyák. Mivel ugyanannyian vannak, ezért két lehetőség van, mindenkitől jobbra vagy mindenkitől balra lesz kutya (másképpen mondva, a sornak vagy csak az egyik, vagy a másik végét zárja pl. kutya). Ezenfelül az emberek és a kutyák még egymás között is helyet cserélhetnek (azaz egy ember, csak egy másik emberrel cserélhet helyet, kutyák ugyanígy), ez csoportonként még `5!` féle sorrend. Tehát a lehetséges felsorakkozások száma: `2*5!*5! = 28\quad 800`
3. Vegyünk két síkbeli metsző egyenest. A két halmaz a két egyenes pontjai. Mivel ezek önmagukban is végtelenek, az uniójuk is az lesz, metszetük pedig egy elemű, ez az elem a metszéspont.
Egy másik lehetséges megoldás: Legyen a két halmaz a páros számok és a prímszámok halmaza. Mindkettő halmaz végtelen, így az uniójuk is, metszetük egy elemű, ez az elem a 2.
4. Az első helyre 4 féle szám mehet, második helyre már csak 3, utolsó helyre 2-t: `4*3*2 = 24`
5. Mivel a 24 olyan összetett szám, ami nem 2 és/vagy 5 hatvány, ezért azt kell belátni, hogy a szorzat osztható 24 egy relatív prímekből álló felbontásában mindegyik tényezővel. Relatív prím azt jelenti, hogy az 1 kivételével nincs közös osztójuk (azaz a legnagyobb közös osztójuk az 1). Emiatt nem felel meg pl. sem a 2*12, sem a 6*4, de a 3*8 jó lesz. Tehát azt kell megmutatni, hogy a szorzat osztható 3-al is és 8-al is (másképpen mondva, ezek többszöröse a szorzat).
Négy egymást követő szám között biztosan van legalább egy 3-al osztható, így a szorzat is 3 többszöröse, azaz osztható 3-al.
Négy egymást követő szám között biztosan van két db páros szám, ezek közül az egyik 4-el is osztható, így ezen két szám szorzata osztható 8-al, és így az egész szorzat is.
Tehát négy egymást követő szám szorzata mindig osztható 3-al és 8-al is, ebből következően 24-el is.
7. Legyen mindkét érme fajtából `x` db. Ekkor `20x+50x=1470 Rightarrow 70x = 1470 Rightarrow x = 21`
Tehát megoldható, ha mindkét érméből 21 db-ot adunk.
8. Az átfogó hossza Pitagorasz-tétellel: `\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}`. Rövidebb oldallal szemben kisebb szög található, így ha `alpha` a háromszög legkisebb szöge, akkor vele szemben az 1 hosszúságú befogó van, így pedig a mellette lévő a 2 hosszúságú. Mivel egy szög koszinusza derékszögű háromszögben = szög melleti befogó/átfogó, így `cos alpha = 2/\sqrt{5}`
10. Ezeket az adatokat elképzelhetjük egy derékszögű háromszögben. A 15°-os szöggel szemben a domb magassága van, azaz ez a befogó 200 m hosszúságú. A kérdés a háromszög átfogója, ezt szinusszal tudjuk számolni. Jelüljök az átfogót `x`-el, ekkor:
`sin 15^circ = 200/x Rightarrow x = 200/(sin 15^circ) approx 772.7407` m
0
- Még nem érkezett komment!