Differenciahányados számolás

Deriválod a megadott függvényt is behelyettesíted a `(-1)`-et.
Mi ebben a nehézség?
Használd a függvények hányadosára vonatkozó derivációs szabályt!
`f'(x)=frac{3(2x^4-2x+1)}{x^4}`.
`f'(-1)=15`.

Most látom, hogy nem diffrenciálhányadosról, hanem differenciahányadosról van szó.
A differenciahányados értéke nemcsak `x_0`-tól hanem változó `Deltax` növekményétől is függ.
Tehát javításra szorul a példa megoldása.
`frac{Deltay}{Deltax}=frac{f(x+Deltax)-f(x)}{Deltax}`
Ebből fog kelleni a `6(x+Deltax)^4+3(x+Deltax)-1` kiszámítása.
`6(x+Deltax)^4+3(x+Deltax)-1=6·x^4 + 24·(Deltax)·x^3 + 36·(Deltax)^2·x^2 + 24·(Deltax)^3·x + 6·(Deltax)^4+3(x+Deltax)-1`.
`f(x+Deltax)=frac{(6·x^4 + 24·Deltax·x^3 + 36·(Deltax)^2·x^2 + 3·x·(8·(Deltax)^3 + 1) + 6·(Deltax)^4 + 3·Deltax - 1)}{(x+Deltax)^3}`.
Legyen `A(x, b)=6·x^6 + 18·b·x^5 + 18·b^2·x^4 + x^3·(6·b^3 - 6)` és
`B(x, b)=3·x^2·(1 - 3·b) + 3·b·x·(1 - b) + b^2`.

Ekkor `f(x+b)-f(b)=frac{b(A(x,b)+B(x,b))}{x^3(x+b)^3}`.

Így `frac{f(x+b)-f(b)}{b}=frac{(A(x,b)+B(x,b))}{x^3(x+b)^3}`.

A `b=Deltax` helyettesítés után `frac{f(x+Deltax)-f(Deltax)}{Deltax}=frac{(A(x,Deltax)+B(x,Deltax))}{x^3(x+Deltax)^3}`.
Majd elvégezve az `x=-1` helyettesítést adódik, hogy
`frac{Deltay}{Deltax}=frac{f(-1+Deltax)-f(Deltax)}{Deltax}=frac{(Deltax)^3-22(Deltax)^2+30*Deltax-15}{(Deltax-1)^3}`.

Relatív ellenőrzés: Ha `Deltax->0`, akkor a derivált értéke `15`. (Lásd az első sorokban található levezetést.)