Az oldalai a és b. A kerülete:

K = 2(a+b)=100

a+b = 50 ; az egyik oldala legyen x, a másik 50-x m.

Ekkor a területe:

T = `x(50-x)` = `50x-x^2`

Hol lesz maximális az `50x-x^2` függvény

Ha még deriválásról nem volt szó, akkor teljes négyzetről talán már igen:

`-x^2+50x` = `-(x^2-50x)` = `-(x-25)^2+625`

A fenti függvény írja le a téglalap területét. A terület ott lesz a maximális, ahol a teljes négyzet (a zárójelben levő rész) a minimális. Ez pedig az x= 25 helyen van.

A téglalap oldalai tehát a = x = 25 m és b = 50-x = 50-25 = 25 m (tehát négyzet). A területe pedig T=625 `m^2`

A zárójeles rész miatt feltételezem, hogy a cél, hogy számtani és mértani közepek közötti összefüggéssel kell megoldani a feladatot.

Legyen `a,b\geq 0`, ekkor `(a+b)/2\geq \sqrt{ab}`, azaz a számtani közép nem kisebb mint a mértani közép. Egyenlőség akkor, és csak akkor, ha `a=b`. Bizonyítás történhet egyszerűen négyzetremeléssel majd rendezéssel igaz egyenlőtlenséget kapunk, vagy egy végpontjuknál összeillesztett párhuzamos a és b hosszúságú szakasz fölé felveszünk egy félkörívet és a megfelelő hosszok berajzolásával geometriai úton is bizonyítható az állítás. Megjegyzés: az egyenlőtlenség kettőnél több szám esetén is igaz, ekkor a bizonyítás már nyilván nehezebb.

A kerület egy összeg, a terület pedig szorzat. A kerület (tehát az összeg) állandó, ezért a területet (a szorzatot) tudjuk maximalizálni számtani-mértani közép egyenlőtlenséggel. `a,b` itt most a téglalap oldalhosszait jelentik. Összegük éppen a kerület fele, azaz 50. Ekkor SZMKE-t felírva rájuk:

`50/2\geq \sqrt{ab} Rightarrow 25 \geq \sqrt{ab}`

Mivel egyenlőség akkor, és csak akkor, ha `a=b`, így:

`\sqrt{a^2} = 25 Rightarrow a = 25` és így `b=25`, a maximális terület pedig `25^2=625`.

Más megoldási módszer lehet pl. ha először felírunk az oldalakkal és egy db ismeretlennel egy terület függvényt, majd ezt deriválással maximalizáljuk, vagy elemi módszerekkel, mint ahogy kazah is csinálta.