Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Sziasztok!Valaki tudna segiteni ebben a feladatban?Kéne hozzá magyarázat is.(Számtani és mértani közép,szélsőérték feladatok)

122
A feladat:
1 téglalap alakú kertet 100m hosszú kerítéssel szeretnénk körbe keríteni.Mekkorának válasszuk a téglalap oldalait, hogy a területe maximális legyen?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matematika
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Az oldalai a és b. A kerülete:

K = 2(a+b)=100

a+b = 50 ; az egyik oldala legyen x, a másik 50-x m.

Ekkor a területe:

T = `x(50-x)` = `50x-x^2`

Hol lesz maximális az `50x-x^2` függvény

Ha még deriválásról nem volt szó, akkor teljes négyzetről talán már igen:

`-x^2+50x` = `-(x^2-50x)` = `-(x-25)^2+625`

A fenti függvény írja le a téglalap területét. A terület ott lesz a maximális, ahol a teljes négyzet (a zárójelben levő rész) a minimális. Ez pedig az x= 25 helyen van.

A téglalap oldalai tehát a = x = 25 m és b = 50-x = 50-25 = 25 m (tehát négyzet). A területe pedig T=625 `m^2`
0

A zárójeles rész miatt feltételezem, hogy a cél, hogy számtani és mértani közepek közötti összefüggéssel kell megoldani a feladatot.

Legyen `a,b\geq 0`, ekkor `(a+b)/2\geq \sqrt{ab}`, azaz a számtani közép nem kisebb mint a mértani közép. Egyenlőség akkor, és csak akkor, ha `a=b`. Bizonyítás történhet egyszerűen négyzetremeléssel majd rendezéssel igaz egyenlőtlenséget kapunk, vagy egy végpontjuknál összeillesztett párhuzamos a és b hosszúságú szakasz fölé felveszünk egy félkörívet és a megfelelő hosszok berajzolásával geometriai úton is bizonyítható az állítás. Megjegyzés: az egyenlőtlenség kettőnél több szám esetén is igaz, ekkor a bizonyítás már nyilván nehezebb.

A kerület egy összeg, a terület pedig szorzat. A kerület (tehát az összeg) állandó, ezért a területet (a szorzatot) tudjuk maximalizálni számtani-mértani közép egyenlőtlenséggel. `a,b` itt most a téglalap oldalhosszait jelentik. Összegük éppen a kerület fele, azaz 50. Ekkor SZMKE-t felírva rájuk:

`50/2\geq \sqrt{ab} Rightarrow 25 \geq \sqrt{ab}`

Mivel egyenlőség akkor, és csak akkor, ha `a=b`, így:

`\sqrt{a^2} = 25 Rightarrow a = 25` és így `b=25`, a maximális terület pedig `25^2=625`.

Más megoldási módszer lehet pl. ha először felírunk az oldalakkal és egy db ismeretlennel egy terület függvényt, majd ezt deriválással maximalizáljuk, vagy elemi módszerekkel, mint ahogy kazah is csinálta.
Módosítva: 1 éve
0