Számrendszer dolgozat

1) 90 prímtényezős felbontása: `90 = 9*10=3^2*2*5`. Így az osztói:
`1, 2, 3, 5, 2*3=6, 2*5=10, 3*5=15, 2*3*5=30, 3^2=9, 3^2*2=18, 3^2*5=45, 3^2*2*5=90`

2) a) Két szám kerek zárójelek között ebben a kontextusban a legnagyobb közös osztót jelenti. Felírjuk a két szám prímtényezős felbontását, ekkor a lnko a közös prímtényezők az előforduló legkisebb hatványon véve:
`1890 = 9*210 = 9*21*10 = 3^2*3*7*2*5 = 2*3^3*5*7`
`3528=9*392=9*8*49 = 2^3*3^2*7^2`

Így `(1890;3528) = 2*3^2*7 = 126`

b) Két szám szögletes zárójelek között itt most a legkisebb közös többszöröst jelenti. Most is felírjuk a két szám prímtényezős felbontását, de most minden prímtényezőt veszünk az előforduló legnagyobb hatványon:
`1440 = 144*10 = 12^2*2*5 = (3*4)^2*2*5 = 3^2*2^4*2*5 = 2^5*3^2*5`
`1050 = 50*21 = 2*25*3*7 = 2*3*5^2*7`

Így `[1440;1050] = 2^5*3^2*5^2*7 = 50400`

3) A feladat tulajdonképpen 72 és 60 legkisebb közös többszörösének a meghatározása:
`72=8*9 = 2^3*3^2`
`60 = 6*10=2*3*2*5 = 2^2*3*5`

`[72;60] = 2^3*3^2*5 = 360`
Tehát 360 nap múlva lesznek egyszerre a kikötőben.

4) a) Az első feladat alapján: Felírjuk a prímtényezős felbontását a számnak, majd felsorolás helyett nézelődünk. A szám osztói a primtényezős felbontásból kerülhetnek csak ki. Egy-egy osztóban mindegyik tényező maximum csak akkora hatványon szerepelhet, amekkorán az eredeti számban is van. Ha egy tényező nem szerepel az osztóban, akkor az a 0. hatványon van. Így minden osztó esetén minden primtényezőnél (hatvány+1) lehetőségünk van, ezek szorzata adja a pozitív osztók számát (ebben az 1 és önmaga is benne van). 1890-et már korábban felírtuk, most a szemléletesség kedvéért írjuk ki az első hatványokat is:
`1890 = 2^1*3^3*5^1*7^1`

Így az összes pozitív osztó száma: `(1+1)(3+1)(1+1)(1+1) = 2*4*2*2 = 32`

b) A páratlan osztók azok, amelyek nem tartalmazzák a 2-est. Így ezek száma: `(3+1)(1+1)(1+1) = 4*2*2=16`. (az, hogy most éppen a felük, csak véletlen, nem mindig így van!)

c) A páros osztók azok, amelyek tartalmazzák a 2-est, azaz a 2-es tényező nem lehet 0. hatványon: `1*(3+1)(1+1)(1+1) = 16`
Természetesen úgyis kijönne, hogy összes-páratlan = `32-16=16`

5) Először meg kell fogalmaznunk a 36 oszthatósági szabályát. Mivel olyan összetett szám, amely nem sima 2 és 5 hatvány, így ez könnyű, fel kell bontanunk relatív prímek szorzatára, és az ezekkel való oszthatóságot kell vizsgálni. Relatív prím azt jelenti, hogy a két (vagy több) számnak nincs közös osztója, azaz az lnko-juk 1 (ez nem jelenti azt, hogy maguk is prímszámok, nyilván minden prímszám relatív prím az összes többi prímhez). Pl. 3*12 nem lesz jó, mert (3;12) = 3, ahogy a 2*18 sem, mert (2;18) = 2, de a 4*9 már jó lesz, mert (4;9)=1. Tehát 36-al akkor osztható egy szám, ha 4-el és 9-el is. 4-el akkor osztható egy szám, ha az utolsó két számjegyéből képzett szám is osztható 4-el. Így az y-ra szóba jöhető értékek: 0,4,8. 9-el akkor osztható egy szám, ha a számjegyeinek összege osztható 9-el. Figyeljük oda, hogy ezeknek nem külön-külön, hanem egyszerre kell teljesülniük! Nézzük az eseteket:

Ha y=0, akkor a jegyek összege x nélkül: 8+2+2+8+0 = 20, tehát csak x=7 jó.

Ha y=4, akkor az összeg: 24, így csak x=3 jó.

Ha y=8, akkor az összeg: 28, így csak x=8 jó.

Összefoglalva a megoldások: `(x,y)\in {(7;0),(3;4),(8;8)}`

6) a) Minden helyi érték a 2 egy-egy hatványának felel meg, jobbról-balra egyesével növekedve és 0-tól kezdve:
`11011011_2 = 2^7+2^6+2^4+2^3+2^1+2^0 = 128+64+16+8+2+1 = 203_{10}`

b) A számot elkezdjük maradékosan osztogatni 3-mal, és nyomon követjük a maradékokat, ami 0, 1 vagy 2 lehet. Ha az osztás eredménye 0, akkor véget ér a számolás, és a maradékok visszafelé olvasva lesz a szám hármas számrendszerben:

`2020 = 673*3+color(red){1}`
`673 = 224*3+color(red){1}`
`224 = 74*3+color(red){2}`
`74 = 24*3+color(red){2}`
`24 = 8*3+color(red){0}`
`8 = 2*3+color(red){2}`
`2 = 0*3+color(red){2}`

Így `2020_{10} = 2202211_3`