Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Teljes függvényvizsgálat

45
Sziasztok! A lenti feladatban szeretnék segítséget kérni, hogy hogyan kell megoldani. Nagyon megköszönném, ha érthetően levezetné valaki, mert így könnyebben tudom megérteni az ilyen típusú feladatokat.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #függvény, vizsgálat
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Először kiszámoljuk a zérushelyeket. Szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Viszont az x=0 résznél direkt van ott a felkiáltó jel, mivel az a megoldás nem lesz jó, ugyanis a 0 nincs benne az értelmezési tartományban. Azt viszont sejthetjük már ebből, hogy a függvény grafikonjának bal vége az origóhoz fog közelíteni.

Szélsőértékek: Ott lehet szélsőértéke egy függvénynek, ahol az első deriváltja 0. Először meghatározzuk a derivál függvényt az idevonatkozó szabályok segítségével, majd megoldjuk az egyenletet. x=0 megint felkiáltójeles az értelmezési tartomány miatt, így csak 1 megoldásunk van. Tehát ezen a helyen lehet szélsőértéke a függvénynek, de a természetéről még nem tudunk semmit. Kiszámoljuk a második deriváltat, és ide behelyettesítjük az előbb kapott megoldást. Ennek az eredménye negatív, ezért ezen a helyen lokális maximuma van a függvénynek.

Inflexiós pont: Ott lehet inflexiós pontja egy függvénynek, ahol a második deriváltja 0. Itt most csak simán egy megoldást kapunk. További feltétele az inflexiós pont létezésének, hogy létezzen harmadik deriváltja a függvénynek, és az előbb kapott megoldás helyén értelmezve legyen, illetve ne legyen 0. Ezt is ellenőríztük, tehát itt valóban inflexiós pontja van a függvénynek.

Most jöhetnek a határértékek az értelmezési tartomány szélein, először plusz végtelenbe. Itt először egy logaritmus azonosságot használtam, így a szorzatnak mindkét tényezője a végtelenben +végtelenhez tart, viszont az egész szorzat előtt van egy mínusz jel, ez -végtelenre változtatja a határértéket.
A másik határértéknél a 0-t jobbról (azaz pozitív irányból) közelítjük. Ez már trükkösebb. Először átalakítjuk úgy a kifejezést, hogy tört legyen. Mostmár a számláló és a nevező is plusz végtelenbe tart, így alkalmazható rá a L'Hospital szabály, amelynek az a lényege, hogy ha egy törtnek mindkét része 0-hoz vagy végtelenhez tart, akkor a határértéke megegyezik annak a törtnek a határértékével, amelyben a számláló és a nevező az előbbi tört számlálójának és nevezőjének külön-külön a deriváltja. Az így kapott határérték már könnyen elvégezhető, eredménye 0. (ahogyan azt sejthettük a zérushelyeknél).

Tehát a függvény alulról nem korlátos, felső korlátja pedig nyilván a maximumjában vett helyettesítési értéke. Így kapjuk a függvény értékkészletét.

Mindenezek összefoglalva egy táblázatban a második képen, ahol a monotonitást és a konvexitást (görbület) követjük nyomon. A maximum hely körül nyilvánvalóan lefelé görbül a függvény, azaz ezen a részen konkáv, előtte szig. mon. nő, utána szig. mon. csökken, az inflexiós pontban pedig görbületet vált a függvény, azaz előtte konvex (felfelé görbülő) lesz.

Végül maga a függvény vázlatos ábrája, amit most kézzel készítettem el. A beosztás annak megfelelően választottam, hogy jól látszódjon minden. Az x tengelyen 0.1-esével, az y-tengelyen pedig 0.05-ösével van a beosztás. Mivel 0-ban és attól kisebb számokra nincs értelmezve a függvény, az origóban üres karikában végződik a grafikon.
Módosítva: 1 hete
0

kormosmate2 végül is mindent bele adva elkészítette a megoldást. Ezeket a pédákat egy-két példával begyakorolni képtelenség, többet kell megcsinálni! Ha lesz egy kis időd (tudjuk, hogy emelt-szintű érettségire való felkészülés mellett ez nem nagyon lehetségfes), kérlek nézz utánna egy szakkönyvnek, amit anno a kezdő egyetemista diákoknak találtak ki és az elmúlt évtizedekben többször is kiadtak. Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás a Bolyai sorozatban jelent meg több más kiadványokkal együtt. Jó tanulást!
0