Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Teljes függvényvizsgálat

145
Sziasztok! A lenti feladatban szeretnék segítséget kérni, hogy hogyan kell megoldani. Nagyon megköszönném, ha érthetően levezetné valaki, mert így könnyebben tudom megérteni az ilyen típusú feladatokat.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #függvény, vizsgálat
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Először kiszámoljuk a zérushelyeket. Szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Viszont az x=0 résznél direkt van ott a felkiáltó jel, mivel az a megoldás nem lesz jó, ugyanis a 0 nincs benne az értelmezési tartományban. Azt viszont sejthetjük már ebből, hogy a függvény grafikonjának bal vége az origóhoz fog közelíteni.

Szélsőértékek: Ott lehet szélsőértéke egy függvénynek, ahol az első deriváltja 0. Először meghatározzuk a derivál függvényt az idevonatkozó szabályok segítségével, majd megoldjuk az egyenletet. x=0 megint felkiáltójeles az értelmezési tartomány miatt, így csak 1 megoldásunk van. Tehát ezen a helyen lehet szélsőértéke a függvénynek, de a természetéről még nem tudunk semmit. Kiszámoljuk a második deriváltat, és ide behelyettesítjük az előbb kapott megoldást. Ennek az eredménye negatív, ezért ezen a helyen lokális maximuma van a függvénynek.

Inflexiós pont: Ott lehet inflexiós pontja egy függvénynek, ahol a második deriváltja 0. Itt most csak simán egy megoldást kapunk. További feltétele az inflexiós pont létezésének, hogy létezzen harmadik deriváltja a függvénynek, és az előbb kapott megoldás helyén értelmezve legyen, illetve ne legyen 0. Ezt is ellenőríztük, tehát itt valóban inflexiós pontja van a függvénynek.

Most jöhetnek a határértékek az értelmezési tartomány szélein, először plusz végtelenbe. Itt először egy logaritmus azonosságot használtam, így a szorzatnak mindkét tényezője a végtelenben +végtelenhez tart, viszont az egész szorzat előtt van egy mínusz jel, ez -végtelenre változtatja a határértéket.
A másik határértéknél a 0-t jobbról (azaz pozitív irányból) közelítjük. Ez már trükkösebb. Először átalakítjuk úgy a kifejezést, hogy tört legyen. Mostmár a számláló és a nevező is plusz végtelenbe tart, így alkalmazható rá a L'Hospital szabály, amelynek az a lényege, hogy ha egy törtnek mindkét része 0-hoz vagy végtelenhez tart, akkor a határértéke megegyezik annak a törtnek a határértékével, amelyben a számláló és a nevező az előbbi tört számlálójának és nevezőjének külön-külön a deriváltja. Az így kapott határérték már könnyen elvégezhető, eredménye 0. (ahogyan azt sejthettük a zérushelyeknél).

Tehát a függvény alulról nem korlátos, felső korlátja pedig nyilván a maximumjában vett helyettesítési értéke. Így kapjuk a függvény értékkészletét.

Mindenezek összefoglalva egy táblázatban a második képen, ahol a monotonitást és a konvexitást (görbület) követjük nyomon. A maximum hely körül nyilvánvalóan lefelé görbül a függvény, azaz ezen a részen konkáv, előtte szig. mon. nő, utána szig. mon. csökken, az inflexiós pontban pedig görbületet vált a függvény, azaz előtte konvex (felfelé görbülő) lesz.

Végül maga a függvény vázlatos ábrája, amit most kézzel készítettem el. A beosztás annak megfelelően választottam, hogy jól látszódjon minden. Az x tengelyen 0.1-esével, az y-tengelyen pedig 0.05-ösével van a beosztás. Mivel 0-ban és attól kisebb számokra nincs értelmezve a függvény, az origóban üres karikában végződik a grafikon.
Módosítva: 1 éve
0

kormosmate2 végül is mindent bele adva elkészítette a megoldást. Ezeket a pédákat egy-két példával begyakorolni képtelenség, többet kell megcsinálni! Ha lesz egy kis időd (tudjuk, hogy emelt-szintű érettségire való felkészülés mellett ez nem nagyon lehetségfes), kérlek nézz utánna egy szakkönyvnek, amit anno a kezdő egyetemista diákoknak találtak ki és az elmúlt évtizedekben többször is kiadtak. Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás a Bolyai sorozatban jelent meg több más kiadványokkal együtt. Jó tanulást!
0