Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Sorok Konvergenciája

66
Sziasztok! A lenti feladatban szeretnék segítséget kérni, hogy hogyan kell megoldani. Nagyon megköszönném, ha érthetően levezetné valaki, mert így könnyebben tudom megérteni az ilyen típusú feladatokat.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #Konvergencia, #Sorok
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
b.) sor abszolút konvergens. Ugyanis használható a `sum_(n=1)^(oo) a_n` alakú sorra a hányadoskritérium (https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test). Így
`lim_(n->oo) "sup"abs(frac{a_(n+1)}{a_n})=lim_(n->oo) "sup" frac{2}{n+1}=0<1`.
Az is igaz, hogy `sum_(n=1)^(oo) frac{2^n}{n!}=e^2-1`.

a.) sor esetén is használható a hányadoskritérium, amely szintén abszolút konvergens, így konvergens lesz. `lim_(n->oo) "sup"abs(frac{a_(n+1)}{a_n})=`
`=lim_(n->oo) "sup" frac{(n+2)n^n}{(n+1)(n+1)^(n+1)} le lim_(n->oo) "sup" frac{(n+2)}{n^2}=0<1`.
Igaz a `sum_(n=1)^(oo) frac{n+1}{n^n} approx 2,919` becslés is.
Módosítva: 1 hete
1

Mindkét példára alkalmazható két féle konvergencia kritérium is.

Cauchy-féle gyökkritérium: Vesszük a sorozat n-edik gyökét, majd számoljuk a határértékét, ennek az eredménye fog dönteni (vagy nem):

`lim_(n->infty) |root(n){a_n}| = {( > 1, \text{divergens}), (=1, \text{inkonklúzív}), ( < 1,\text{konvergens}):}`

D'Alambert-féle hányadoskritérium: Vesszük a sorozat n+1-edig és az általános tagjának hányadosát, majd számoljuk a határértékét, ennek az eredménye fog dönteni (vagy nem):

`lim_(n->infty) |a_{n+1}/a_n| = {( > 1, \text{divergens}), (=1, \text{inkonklúzív}), ( < 1,\text{konvergens}):}`

Az itt látható két példában lévő sorok pozitív tagúak, így az abszolútértéktől most eltekinthetünk.

a) Ha gyökkritériummal csináljuk, akkor a képen látható szorzatra átírt kifejezés határértékét keressük. Az n-edik gyökös részt Rendőr-elvvel tudjuk számolni, alulról és felülről is úgy becsüljük, hogy nevezetes határértékekre visszavezethető kifejezéseket kapjunk (`lim_(x->infty) root(n){a}=lim_(x->infty)root(n){n}=1`). Alsó becslésnél elhagyjuk belül az 1-et, felső becslésnél pedig az 1 helyére egy nagyobb kifejezést, n-t írunk. Mivel a két határérték eredménye 1, és ez közrefogja az eredetit is, a gyökös kifejezés 1-hez tart. `1/n` értelemszerűen 0-hoz tart. Így az egész határértéke 1*0=0, ami kisebb mint 1, tehát konvergens lesz a sor.

Ha hányadoskritériummal csináljuk, akkor mivel törteket osztunk, rögtön felírjuk úgy, hogy az osztandó reciprokával szorzunk. Az első törtben az exponenciális részt hatványazonosság miatt, a faktoriális részt pedig azért tudjuk úgy átírni, mert, ha `n! = n*(n-1)*...*2*1`, akkor `(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*...*2*1 = (n+1)*n!` Egyszerűsítés után, és a törtek átrendezése után, egy exponenciális és egy racionális tört kifejezést kapunk. Az exponenciális rész visszavezethető nevezetes határértékre (`lim_(x->infty) (1+1/n)^n=e`), így ez a rész `1/e`-hez tart, a racionális törtes rész, mivel a nevező fokszáma nagyobb mint a számlálóé, pedig 0-hoz. Az egész szorzat így 0-hoz tart, ami kisebb mint 1, tehát ugyanazt kaptuk, mint az előbb, hogy konvergens.

b) Ha a gyökkritériumot használjuk, akkor felhasználva azt a nevezetes határértéket, hogy `lim_(n->infty)root(n){n!} = infty`, akkor hamar megkapjuk, hogy a sorozat 0-hoz tart, ami kisebb mint 1, így ez a sor is konvergens.

Ha a hányadoskritériumot használjuk, akkor az előhöz példához nagyon hasonló átalakításokat követve most egy egyszerűbb törthöz jutunk, erről már könnyen látszik, hogy a határértéke 0, tehát az eredmény nyilván ugyanaz mint a másikkal.
1

Az első ablakban a.) példa kidolgozása kiegészítésre szorul.
Felhasználjuk azt az állítást, ha `a/b ge 0` és `b > d >0`, akkor `a/b le a/d`.
`lim "sup"` belüli kifejezéseket tekintve, kapjuk a következőket:
`abs(frac{a_(n+1)}{a_n})=frac{frac{n+2}{(n+1)^(n+1)}}{frac{n+1}{n^n}}
=frac{(n+2)n^n}{(n+1)*(n+1)^(n+1)} le frac{(n+2)*n^n}{(n+1)*n^(n+1)}=`
`=frac{(n+2)}{(n+1)*n} le frac{n+2}{n^2}<1`, ha `n>2`.
Az első egyenlőtlenségnél a nevező második tényezőjében a hatványalapot becsüljük `(n+1) > n`-vel, míg a másodiknál a nevező első tényezőjét ugyanezzel.
Módosítva: 1 hete
1