Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Folytonosság és differenciálhatóság

46
Sziasztok! A lenti feladatban szeretnék segítséget kérni, hogy hogyan kell megoldani. Nagyon megköszönném, ha érthetően levezetné valaki, mert így könnyebben tudom megérteni az ilyen típusú feladatokat.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #Folytonosság, #Differenciálhatóság
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Az `\text{arth }x` függvénynek 0-ban zérushelye van, előtte negatív, utána pozitív, így az abszolútérték definíciója miatt így irható a függvény:

`f(x)=|\text{arth }x|={(-\text{arth }x, x < 0),(\text{arth }x, x\geq 0):}`

A két függvény rész külön-külön végig folytonos, és differenciálható, "gond" csak a szakaszokat elválasztó pontban lehet.

Egy függvény egy pontjában akkor differenciálható, ha abban a pontban folytonos, és a jobb-; és baloldali deriváltak megegyeznek.

Nézzük először a folytonosságot. Egy függvény akkor folytonos egy pontban, ha abban a pontban vett jobb és bal oldali határértéke és a helyettesítési értéke megegyezik, azaz `lim_(x->a) f(x) = f(a)`. Vizsgáljuk meg tehát az adott függvényt 0-ban.

`f(0) = \text{arth}(0) = 0`

`lim_(x->0^-) -\text{arth } x = 0`

`lim_(x->0^+) \text{arth } x = 0`

Tehát ebben a pontban a függvény folytonos.

Nézzük a deriváltakat:

`f_{-}^'(x)=-1/(1-x^2) \quad f_{-}^'(0) = -1`

`f_{+}^'(x)=1/(1-x^2) \quad f_{+}^'(0) = 1`

A jobb-; és baloldali deriváltak nem egyeznek, így a függvény 0-ban nem differenciálható.
1

Azért kiváncsi lennék hányadikos vagy
0