Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Folytonosság és differenciálhatóság
ZS0fi19
kérdése
124
Sziasztok! A lenti feladatban szeretnék segítséget kérni, hogy hogyan kell megoldani. Nagyon megköszönném, ha érthetően levezetné valaki, mert így könnyebben tudom megérteni az ilyen típusú feladatokat.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #Folytonosság, #Differenciálhatóság
#matematika, #Folytonosság, #Differenciálhatóság
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
kormosmate2
megoldása
Az `\text{arth }x` függvénynek 0-ban zérushelye van, előtte negatív, utána pozitív, így az abszolútérték definíciója miatt így irható a függvény:
`f(x)=|\text{arth }x|={(-\text{arth }x, x < 0),(\text{arth }x, x\geq 0):}`
A két függvény rész külön-külön végig folytonos, és differenciálható, "gond" csak a szakaszokat elválasztó pontban lehet.
Egy függvény egy pontjában akkor differenciálható, ha abban a pontban folytonos, és a jobb-; és baloldali deriváltak megegyeznek.
Nézzük először a folytonosságot. Egy függvény akkor folytonos egy pontban, ha abban a pontban vett jobb és bal oldali határértéke és a helyettesítési értéke megegyezik, azaz `lim_(x->a) f(x) = f(a)`. Vizsgáljuk meg tehát az adott függvényt 0-ban.
`f(0) = \text{arth}(0) = 0`
`lim_(x->0^-) -\text{arth } x = 0`
`lim_(x->0^+) \text{arth } x = 0`
Tehát ebben a pontban a függvény folytonos.
Nézzük a deriváltakat:
`f_{-}^'(x)=-1/(1-x^2) \quad f_{-}^'(0) = -1`
`f_{+}^'(x)=1/(1-x^2) \quad f_{+}^'(0) = 1`
A jobb-; és baloldali deriváltak nem egyeznek, így a függvény 0-ban nem differenciálható.
`f(x)=|\text{arth }x|={(-\text{arth }x, x < 0),(\text{arth }x, x\geq 0):}`
A két függvény rész külön-külön végig folytonos, és differenciálható, "gond" csak a szakaszokat elválasztó pontban lehet.
Egy függvény egy pontjában akkor differenciálható, ha abban a pontban folytonos, és a jobb-; és baloldali deriváltak megegyeznek.
Nézzük először a folytonosságot. Egy függvény akkor folytonos egy pontban, ha abban a pontban vett jobb és bal oldali határértéke és a helyettesítési értéke megegyezik, azaz `lim_(x->a) f(x) = f(a)`. Vizsgáljuk meg tehát az adott függvényt 0-ban.
`f(0) = \text{arth}(0) = 0`
`lim_(x->0^-) -\text{arth } x = 0`
`lim_(x->0^+) \text{arth } x = 0`
Tehát ebben a pontban a függvény folytonos.
Nézzük a deriváltakat:
`f_{-}^'(x)=-1/(1-x^2) \quad f_{-}^'(0) = -1`
`f_{+}^'(x)=1/(1-x^2) \quad f_{+}^'(0) = 1`
A jobb-; és baloldali deriváltak nem egyeznek, így a függvény 0-ban nem differenciálható.
1
- Még nem érkezett komment!
