Mellékelt képeken a megoldás.

Szöveges kiegészítés:

Az, hogy a P(1,2) ponton áthalad a függvény görbéje (azaz, hogy ez a pont rajta van), azt jelenti, hogy az 1-hez a 2-t rendeli a függvény, így ennek megfelelően kell kiszámolni A értékét. Ha ez megvan, akkor elkezdünk vizsgálódni.

Zérushelyből kettő is van, ezeket akkor kapjuk, ha csak a számlálóban előforduló zárójelek 0-k. Ebből az egyik kétszeres is, azaz páros multiplicitású. Ez azt jelenti, hogy a függvény ezen a helyen az x tengelyt, csak visszagörbülve fogja értinteni valamelyik oldalról. A másik, aminek páratlan multiplicitása van, keresztezi az x tengelyt ezen a helyen.

Hézagpontja nincs a függvénynek, ehhez kellenének olyan zárójelek, amelyek a tört mindkét részében előfordulnak.

Pólushelyből is kettő van, ezeket akkor kapjuk, ha csak a nevezőben előforduló, vagy mindkét helyen de a nevezőben magasabb hatványon előforduló zárójelek 0-k. Ezeken a helyeken van függőleges aszimptotája a függvénynek. Az egyik itt is páros multiplicitású, azaz mindkét irányból ugyanabba a végtelenbe (mindkétfelől fölfelé vagy lefelé) fog tartani, még a másiknál ellentétes ellőjelű végtelenekhez. Hogy pontosan mely végtelenekbe, azt határérték számításokkal kapjuk.

Először megnézzük az ellentétes előjelűt. Mivel végig szorzás van, a törtből "leválasztjuk" a "problémás" részt, ez okozza a szakadást ebben a pontban. Megvizsgáljuk a jobb és a bal oldali határértéket is ebben a pontban. Azt kell nézni, hogy a nevező a 0-t pozitív, vagy negatív számokon keresztül éri-e el, ezt utána annak megfelelően jelöljük. A többi részbe csak simán behelyettesítjük a -1/2-et, és kapunk egy számot. A legvégén a szorzásnál figyelni kell az előjelekre. 1/-0 "eredménye" -végtelen, de ha ez utána egy negatív számmal szorzódik, akkor már pozitív végtelen kapnánk. Most pozitív számmal szorzunk, így marad a negatív végtelen.

Ugyanezt csináljuk határértékkel 3-ban is, itt viszont felesleges a két oldali határérték, mert a négyzet miatt a nevezőben a 0-t így is úgy is pozitív számokon keresztül közelítjük.

Végül meg kell még néznünk a határértékeket a két végtelenben is, hogy tudjuk, "jobbra és balra" hová tart a függvény. Amit rögtön látunk még minden előtt, hogy ez a függvény egy áltört, mivel a számláló és nevező fokszáma megegyezik (mindkettő 3-ad fokú). Így az eredmény mindkét esetben egy szám lesz, tehát egy vízszintes aszimptotánk lesz majd. Ahhoz, hogy ezt a számot kiderítsük, nem kell a rengeteg algebrát elvégezni, mivel az ilyen polinomos törtes határértékeknél elég csak a számláló és a nevező "legerősebb" tagjait nézni. Képzeljük el, hogy elkezdenénk felbontani a zárójeleket, felül biztosan lenne egy `x^3`, minden más szorzat csak ettől kisebb fokszámú. Nevezőben hasonlóan lesz egy `2x^3` a többi ettől kisebb, és így nem fognak számítani, mert "eltörpülnek" a végtelenben. Innen már látható, hogy ami marad, az 1/2-hez fog tartani.

Végül a pontosabb rajz érdekében kiszámolhatjuk még, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt, azaz 0-ban mi a helyettesítési értéke.

Ezzel kiderítettünk mindent ami kellett a vázlatos ábrához, a 3.,4. képeken látható a függvény grafikonja, bal oldalon a fekete körös sorokban pedig az aszimptoták egyenletei. A 4. képet azért tettem be, mert az elsőn szinte egyáltalán nem látszódnak jól a zérushelyek, mert a függvénynek ezen a részen nagyon közeli értékei vannak. Elég durván szét kell nyújtani az y tengely mentén az ábrát, hogy látszódjon a két zérushely szépen.