Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Inverz függvény

41
Sziasztok! A lenti feladatban szeretnék segítséget kérni, hogy hogyan kell megoldani. Nagyon megköszönném, ha érthetően levezetné valaki, mert így könnyebben tudom megérteni az ilyen típusú feladatokat.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #Inverz, #függvény
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Mellékelt képen a megoldás.

Szöveges kiegészítés:

1) Az elején megvizsgáltam mi lehet a kotangens belsejében. Az értelmezési tartományből az jön ki, hogy a kotangens belseje 0 és `pi` közé esik, ez éppen a kotangens első periódusa. Ez azért fontos, mert csak ezzel az indoklással együtt lehet elhagyni a kotangenseket az utána lévő levezetésben.

2) Inverze akkor van egy függvénynek, ha az bijektív. Bijektív függvény = injektív és szürjektív. Az injektív azt jelenti, hogy különböző elemekhez különböző értékeket rendel a függvény (azaz nem olyan, mint mondjuk az `x^2`, ahol `2^2=(-2)^2=4`). Másképpen leírva, ahogy a lapon is van, ha két fajta x-hez azonos helyettesítési érték tartozik, akkor azok egyenlőek. Először ezt kell leellenőrizni. A szürjektív azt jelenti, hogy a teljes értékkészlet előáll képként (ami most a valós számok halmaza), magyarul az értékkészlet minden értékéhez tartozik olyan értelmezés tartománybeli elem, amelyhez a függvény azt az értéket rendeli. Ennek leellenőrzése tkp. maga az inverz függvény kiszámolása is egyben.

3) Az inverz azt jelenti, hogy a függvény hozzárendelésének a megfordítása, tehát ha pl. `f(2)=5`, akkor `f^{-1}(5)=2`. Az inverzt tehát úgy számoljuk, hogy felcseréljük x-et és y-t, majd átalakításokkal elkülönítjük az y-t, és az így kapott függvény az inverz. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet szerepe így szintén megfordítódik.

4) A függvény képét elemi transzformációkkal kapjuk az alap arcctg függvényből, amit tudni kell, hogy hogyan néz ki. A belseje: `(x-1)/3`, ami az jelenti, hogy 1 egységgel jobbra kell tolni, majd vízszintesen a 3x-orosára szétnyújtani, a `+pi/4` miatt pedig az egészet ennyivel fentebb kell tolni.
Módosítva: 2 hete
1