Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek feladat

55
Egy háromjegyű szám a tízes számrendszerben aaa alakú. Ugyanezen aszám számjegyei egy másik számrendszerben, ebben a sorrendben 4a, 2a, a. Melyik ez a szám?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A következőt tudjuk a feladat szövegéből: `\overline{aaa}_{10}=\overline{(4a)(2a)a}_x`. A fölévonás itt most azt hangsúlyozza, hogy számjegyekre gondolunk, nem pedig szorzatokra. Tegyük fel még továbbá, hogy `a!=0` mert különben nem háromjegyű számunk lenne, illetve nyilvánvaló, hogy mivel számjegyekről van szó `a\in \mathbb{N}` és `1\leq a \leq 9`. Továbbá `x\in\mathbb{N}\setminus{1;10}` hiszen a számrendszer alapja csak 1-től nagyobb természetes szám lehet, ugyanaz meg nem lehet mint a bal oldalon. Írjuk fel mind a két oldalt a számrendszernek megfelő helyiértékes alakban:

`10^2*a+10*a+1*a = x^2*4a+x*2a+1*a`

`100a+10a+a = 111a = a(4x^2+2x+1) \text{/}:a`

`4x^2+2x+1 = 111 \text{/}-111`

`4x^2+2x-110 = 0 \text{/}:2`

`2x^2+x-55 = 0`

`x_{1,2} = (-1\pm\sqrt{1-4*2*(-55)})/(2*2) = (-1\pm\sqrt{441})/4 = (-1\pm21)/4 = {(x_1=-5.5),(x_2=5):}`

A feladat feltételeinek csak a második megoldás tesz eleget.

Tehát a jobb oldali szám 5-ös számrendszerben van. 5-ös számrendszerben a legnagyobb számjegy a 4, így mivel `4a\leq4`, `a` értéke csak 1 lehet. Ez meg is felel, mivel `111_{10}=421_5`

Tehát a keresett szám, a `111`.
Módosítva: 2 hete
1