Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Végtelen sorok összege

68
valaki segítene abban, hogy legalább az egyiket levezeti és mellette elmagyarázza miz miért csinált?

ha esetleg nem látszik megpróbálom máshogy elküldeni
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Végtelen mértani sor összege:
` sum_{n=0}^infty x^n = a_1/(1-x) \quad |x| < 1 `. Tehát fontos, hogy alap -1 és 1 közötti szám legyen, a1 pedig a sorozat első tagját jelenti (amikor n értéke a legkisebb), tehát figyelni kell, hogy az indexelés melyik számtól indul.
Az a cél, hogy ilyen alakra hozzuk a megadott példákat. Ezt hatványazonosságok és algebra segítségével érjük el:

` sum_{n=1}^infty (5*3^{2n-3})/10^{n-2} = sum_{n=1}^infty (5*9^n*1/27)/(10^n*1/100) = (5/27)/(1/100)*sum_{n=1}^infty (9/10)^n = 500/27*sum_{n=1}^infty (9/10)^n `
Az alap -1 és 1 között van, így alkalmazható a képlet. Az n most 1-től indul, így ` a_1=9/10 `. Valamint az előbb kihasználtuk még azt is, hogy a konstans szorzó kivihető a szumma jel elé. Így:

` 500/27*sum_{n=1}^infty (9/10)^n = 500/27*(9/10)/(1-9/10) = 500/27*(9/10)/(1/10) = 500/27*9 = 500/3`

A másodikat ugyanígy kell csinálni:

` sum_{n=1}^infty (60*4^{2n-3})/5^{2n+1} = sum_{n=1}^infty (60*16^n*(1/64))/(25^n*5) = (60/64)/5*sum_{n=1}^infty (16/25)^n = 3/16*(16/25)/(1-16/25) = 3/16*(16/25)/(9/25) = 3/16*16/9 = 1/3`
Módosítva: 1 hete
0