Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Mateek

91
Egy 35 cm átmérőjű gömböt elvágunk az átmérőjének felénél és sugarának háromnegyedénél mind két oldalt. Mekkora a megmaradt nagyobbik test felszíne és térfogata? Valamint számítsuk ki mekkora sugarú gömböt tudnánk újra gyúrni belőle!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Csatolt képen a vizsgált test ábrája. Ha jól értelmezem, akkor a sugár 3/4-ét a gömb közepétől kell számítani. Ennek a testnek a palástját gömbövnek hívjuk, felszíne ` A = 2pi*R*m `, ahol R az eredeti, szeletelés nélküli gömb sugara, azaz a főkör sugara (ami most az ` r_1 `), m pedig a gömböv magassága. Ehhez még hozzájön a két fedőkör területe is, ezekre rendre ` r_1^2pi ` és ` r_2^2pi `. Az egész kimetszett testet gömbrétegnek hívjuk, térfogata ` V=(pi*m)/6(3r_1^2+3r_2^2+m^2) `.

` r_1 ` az átmérő fele, azaz ` 35/2 ` cm. ` m ` értéke a feladat szövege alapján: elfelezzük az átmérőt, majd annak vesszük a 3/4-t, így ` m=35/2*3/4 = 105/8 ` cm. Nem tudjuk még az ` r_2 `-t. A képen látható ábrán berajzoltam még egy szaggatott piros vonalat is. Így egy derékszögű háromszöget kapunk a gömbréteg belsejében. A szaggatott piros vonal hossza megegyezik ` r_1 `-el, hiszen a gömb felszínének minden pontja ugyanolyan távolságra van a középpontjától. Innen Pitagorasz tétellel: ` r_2=\sqrt{(35/2)^2-(105/8)^2} = \sqrt{8575/64} = \sqrt{8575}/8` cm.

Így a felszín: ` A=2pi*35/2*105/8+(35/2)^2pi+(8575/64)pi = 57575/64pi approx 2826.206 ` cm2

A térfogat: ` V= (pi*105/8)/6(3*(35/2)^2+3*8575/64+(105/8)^2) = 1672125/512\pi approx 10260.0305` cm3

2. kérdés. Gömb térfogata: ` V= 4/3r^3pi `. Így kiszámítandó:

` 4/3r^3pi = 1672125/512\pi Rightarrow r^3= 5016375/2048 Rightarrow r= \root(3){5016375/2048} approx 13.48 ` cm
Módosítva: 2 hete
0