Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge
Glori3
kérdése
434
1) Egy háromszög csúcsai A(-4;6) B( 2; -4) C(6; 5) .Számítsuk ki az A csúcsból induló súlyvonal és a B csúcsból induló magasságvonal metszéspontjának koordinátáit valamint a háromszög területét.
2) Az e egyenes illeszkedik az origóra egy irányvektora v(3; 4) az f egyenes két pontja A ( 2; 6) B (15; -6) .
Számítsuk ki az e és f egyenesek metszéspontjának koordinátáit.
Le is vezetné valaki nekem kérlek a számolást? Előre is köszi
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Professor115
válasza
Az A csúcsból induló súlyvonal a B és C csúcsok között húzódik, és a háromszög súlypontjának koordinátáit adja. A háromszög súlypontja a következőképpen számítható: ((-4+2+6)/3; (6+-4+5)/3) = (2;3). A B csúcsból induló magasságvonal a C és A csúcsok között húzódik, és a metszéspont koordinátái az egyenes egyenletei alapján számíthatók. A háromszög területe a Heron-formula alapján számítható: √(s(s-a)(s-b)(s-c)) ahol s a háromszög oldalhosszának összege és a,b,c az oldalak hosszai.
Az egyenes egyenlete az irányvektor szerint v(x,y) = (3,4) * t és A(2,6) és B(15,-6) két pontjának egyenlete f(x,y) = (x-2)/13 = (y-6)/(-12) = t . A két egyenlet együttes megoldása adja a metszéspont koordinátáit.
0
kormosmate2:
A Héron-képletet felesleges erőltetni, van egyszerűbb és rövidebb mód, és amúgy sok idő megy el, mire az oldalak hosszait kiszámolod, de még maga a képlethez írt magyarázatod sem jó, mivel s a kerület felét jelenti, nem csak simán az oldalak összegét.
1 éve0
kormosmate2:
A másik, hogy bár hiába kérte a kérdező a számolások levezetésté, a lényeges számolásokról semmi konkrétumot, sem számolást nem írsz/mutatsz, de olyan evidens dolgokat, hogy "A B csúcsból induló magasságvonal a C és A csúcsok között húzódik" meg leírsz. Ezutóbbira szerintem a kérdező is rájött.
1 éve0
kormosmate2:
Harmadszor, a t paraméter bár nagyon hasznos térbeli egyenesknél, itt teljesen felesleges a bevezetése, egy középiskolai tanuló nem fogja érteni és nem is kell tudnia ezt a fajta felírást, és anélkül is egyszerűen számolható a metszéspont.
1 éve0
kormosmate2
válasza
Egyenes normálvektoros egyenlete: ` Ax+By=Ax_0+By_0 ` ahol ` \vec{n}(A,B) ` egy az egyenesre merőleges normálvektor, `(x_0,y_0) ` pedig egy az egyenesen lévő pont. (Természetesen van több mód is két ponton átmenő egyenes egyenletének a felírása, de most használjuk ezt, mert most ezzel később egyszerűbb lesz)
1) Háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes. Az A csúcsból induló súlyvonal másik pontja a BC oldal felezőpontja: ` F((2+6)/2;(-4+5)/2) = F(4;1/2)`. Ekkor az A pontból az F-be mutató vektor: ` \vec{AF}(4-(-4);1/2-6) = (8;-11/2) `(végpont-kezdőpont koordinátái). Ez a vektor párhuzamos a kérdéses egyenessel (azaz az irányvektora), ezért forgassuk el 90°-al, ekkor egy normálvektorát kapjuk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy megcseréljük a két koordinátáját, és az egyiket megszorozzuk (-1)-el. Így ` \vec{n}(11/2;8) `. A normálvektornak csak az iránya a lényeges, a hossza nem számít, így a kétszerese is megfelel, hogy ne legyenek törtek, tehát: ` \vec{n}(11;16) `
Ekkor a súlyvonal egyenlete, az A pontot felhasználva:
` 11x+16y=11*(-4)+16*6 Rightarrow 11x+16y = 52`
A magasságvonal hasonló elvvel, azzal a különbséggel, hogy most nincs csak egy pontunk. A B csúcsból induló magasságvonal viszont merőleges az AC egyenesre, így az A-ból C-be mutató vektor épp a kérdéses egyenes normálvektora lesz: ` \vec{AC}(6-(-4);5-6) = \vec{n}(10;-1) `
A magasságvonal egyenlete így:
` 10x-y=10*2+(-1)*(-4) Rightarrow 10x-y=24 `
A két egyenes metszéspontjához a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert kell megoldanunk.
A fejezzük ki a másodikból ` y `-t, ` (y=10x-24) ` majd írjuk be az első egyenletbe és oldjuk meg:
` 11x+16(10x-24)=52 `
` 11x+160x-384=52 `
` 171x-384=52 \text{/}+384`
` 171x=436 \text{/}:171`
` x= 436/171 `
Így ` y = 10(436/171)-24 = 256/171 `.
Tehát a metszéspont koordinátái: ` M(436/171;256/171) `
A háromszög területét legegyszerűbben a csatolt képen illusztrált módon lehet számolni. Az egész háromszög befoglalható egy 10*10-es négyzetbe. Ennek a területéből kivonjuk a három kisebb, derékszögű háromszög területét, és ami marad az a háromszög területe. A szükséges hosszok leolvashatóak az ábráról. Így a háromszög területe: ` T_triangle = 10^2-((10*1)/2+(9*4)/2+(10*6)/2) = 47 `
2) Az e egyenes átmegy az origón, és az irányvektora ` \vec{v}(3;4) ` ami azt jelenti, hogy a meredeksége ` 3/4 `. Így az e egyenes egyenlete: ` e: y=3/4x `
A másik egyenes az előző feladatban látott módon. ` \vec{AB}(15-2;-6-6) = \vec{AB}(13;-12) `
Így az f egyenes normálvektora: ` \vec{n}(12;13) `. Tehát az f egyenes egyenlete, az A pontot használva:
` f: 12x+13y=12*2+13*(-6) Rightarrow f: 12x+13y = -54 `
A metszéspont kiszámítása szintén az előző feladat mintájára. Írjuk be az első egyenletet a másodikba:
` 12x+13(3/4x)=-54 `
` 12x+39/4x=-54 \text{/}*4 `
` 48x+39x=-216 `
` 87x=-216 \text{/}:87 `
` x=-72/29 `
Így ` y= 3/4*(-72/29) = -54/29 `
Tehát a két egyenes metszéspontjának koordinátái: ` e\cap f: M(-72/29;-52/29) `