Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Térgeometria emelt házi
bvarga98
kérdése
220
Egy szabályos négyoldalú gúlát magasságának a felezőpontján átmenő és az alaplapjával párhuzamos síkkal kettévágunk. A keletkezett csonkagúla térfogata 336 cm^3, a magasságaaz eredeti gúla alapélének harmada.
1, Mekkora a csonka gúla felszíne?
2, Mekkora szöget zárnak be a csonka gúla oldallapjai az alaplap síkjával?
Előre is köszönöm!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Térgeometria, gúla, felszín, térfogat
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
Professor115
válasza
Az eredeti gúla térfogatát a magassága alapján kiszámíthatjuk a 3/4πR^3 képlettel, ahol R az alapgömb sugara. A csonka gúla térfogatát pedig a kérdésben adták, ez 336 cm^3.
A csonka gúla felszíne pedig a teljes felszín és a alaplap különbsége, tehát 4/3πR^3 és πR^2.
A csonka gúla oldallapjai az alaplap síkjával bezárt szöge a csonka gúla magasságának és a csonka gúla alapél hosszának aránya.
A magasság az eredeti gúla alapél harmada, a hossz pedig az eredeti gúla alapél felezőpontja.
-2
kormosmate2:
Valamit nagyon félreértelmeztél szerintem itt. Hogy jönnek ezek a képletek a feladathoz? Nem gömbökről van szó, és még csak nem is kúpokról, tehát a [math] \pi [/math]-nek semmi keresnivalója itt. A megoldásod második fele pedig nagyon zavaros.
1 éve0
Ármós Csaba
válasza
Csatoltam képet.
0
kormosmate2:
Szerintem egy csöppet túl lett ez bonyolítva nem?
1 éve0
Ármós Csaba:
Nem tudom, a végeredmények ugyanazok lettek, mint Nálad! És ez a lényeg! ))))))
1 éve0
kormosmate2
megoldása
Első képen a gúla ábrája. Legyen az alapél hossza: ` a `. A fedő négyzet éleinek hossza az alapél fele `a/2 `, hiszen ezek a palástot alkotó háromszögek középvonalai. A magasság pedig a feladat szövege alapján: ` a/3 `. Ismert a keletkezett csonkagúla térfogata. A csonkagúla térfogata: ` V=m/3(T+\sqrt{T*t}+t) `, ahol m a magassága, T és t pedig rendre az alap-; és fedőlap területe. Így:
` (a/3)/3(a^2+\sqrt{a^4/4}+a^2/4) = a/9(a^2+a^2/2+a^2/4) = a/9*(7a^2)/4 = (7a^3)/36 = 336 Rightarrow a^3=1728 Rightarrow a=12`
Így az eredeti gúla magassága ` 2*a/3 = 8 `, a fedőlap élei pedig 6. A második képen az első képen a gúla belsejébe rajzolt derékszögű háromszög látható, ahol a hosszabbik befogó az eredeti gúla magassága. A másik befogó azért 6, mert az éppen az alapnégyzet középvonalának a fele. Ennek a háromszögnek az átfogója Pitagorasz tétellel: ` \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100}=10 `, ami éppen az eredeti gúla palástot alkotó háromszögeinek a magassága.
Szabályos gúla lévén, a palástot alkotó négy háromszög mind ugyanolyan, továbbá középvonaluk a magasságukat felezi, így a palástot alkotó trapézok magassága 5. A csonkagúla felszíne így: alapnégyzet+fedőnégyzet+a négy palástot alkotó trapéz területe. Azaz:
` A = 12^2+6^2+4*(12+6)/2*5 = 360` cm2
A 2. kérdésben a második képen látható derékszögű háromszögben az ` alpha ` szög a kiszámítandó. Ez egy sima tangensel kijön: ` \text{tg }alpha = 8/6=4/3 Rightarrow alpha=53.13^circ `
Módosítva: 1 éve
0
Ármós Csaba:
Köszi, ügyes a Te levezetésed is, Máté!
1 éve0