1) Az egyenlőtlenség megoldása valós számok halmazán:
(m+1)x² - 2(m-1)x + 3m - 3<0
A bal oldalon található kifejezés egy parabola, amelynek vertexét a következőképpen számíthatjuk ki:
x = (2(m-1)) / (2(m+1)) = (m-1) / (m+1)

Az x ezen értékekor a parabola fölött található, tehát ha x < (m-1) / (m+1), akkor az egyenlőtlenség teljesül, ha x > (m-1) / (m+1), akkor az egyenlőtlenség nem teljesül.

A. Az egyenlőtlenség megoldása egész számok halmazán:
(x²-2x+3)(x²+4x+7)≥0

Az x²-2x+3 és x²+4x+7 polinomok mindkettőnek pozitív értékeik vannak, tehát az egyenlőtlenség minden x értékre teljesül.

B. Az egyenlőtlenség megoldása egész számok halmazán:
(x²-6x+10)(x²-10x+25)≤0

Az x²-6x+10 és x²-10x+25 polinomok mindkettőnek negatív értékeik vannak a x = 2 és x = 5 értékek között, tehát az egyenlőtlenség csak x < 2 vagy x > 5 értékekre teljesül.

Nézzük először a 2-eset, mert az a könnyebb.

A)
Alakítsuk át a másodfokú tényezőket teljes négyzetté:
` x^2-2x+3 = x^2-2x+1+2 = (x-2)^2+2 | x^2+4x+7=x^2+4x+4+3 = (x+2)^2+3 `
Bármi a négyzeten mindig nemnegatív, ehhez pozitív számot adva biztosan pozitív számot kapunk. Tehát az egyenlőtlenség bal oldalán lévő szorzat minden valós ` x ` esetén pozitív, azaz az egyenlőtlenségnek minden valós szám megoldása.

B)
Hasonlóan az előzőhöz: ` x^2-6x+10 = x^2-6x+9+1 = (x-3)^2+1 | x^2-10x+25 = (x-5)^2 `. Az A)-ban lévő indoklás miatt a bal oldali szorzat első tényezője mindig pozitív, a második tényező pedig mindig pozitív, kivéve ` x=5 `-öt, ekkor 0, és így az egész szorzat is. Mivel ` \leq 0 ` a kérdés, ezért az egyetlen megoldás ` x=5 `.

1.)
Az egyenlőtlenséget meg kell vizsgálni ` m ` különböző értékei esetén, hogy milyen megoldásokat kaphatunk ` x `-re.
1. Ha ` m=-1 ` akkor elsőfokú egyenletlőtlenséget kapunk:

` 4x-6 < 0 \text{/}+6 `

` 4x < 6 \text{/}:4 `

` x < 3/2 `

2. Ha ` m!=-1 ` akkor a bal oldal másodfokú, és egy parabolánk van. Az egyszerűség kedvéért a konstans részt írjuk úgy, hogy ` 3m-3 = 3(m-1) `.

Másodfokú megoldóképlettel:
` x_{1,2} = \frac{2(m-1)\pm\sqrt{4(m-1)^2-4*3(m+1)(m-1)}}{2(m+1)} = \frac{2(m-1)\pm\sqrt{4((m-1)^2-3(m^2-1))}}{2(m+1)} =`
` = \frac{2(m-1)\pm2\sqrt{m^2-2m+1-3m^2+3}}{2(m+1)} = \frac{m-1\pm\sqrt{-2m^2-2m+4}}{m+1} `

Akkor lesz két különbőző megoldásunk, ha a diszkrimináns pozitív:

` -2m^2-2m+4 > 0 \text{/}:(-2) `

` m^2+m-2 < 0 `

` (m+2)(m-1) < 0 `

A bal oldal akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz ha ` m=-2 ` vagy ` m=1 `. (Ezeket természetesen a másodfokú megoldóképlettel is megkaphattuk volna, én most szorzattá alakítottam).

Mivel ` m^2 ` pozitív, a bal oldal egy felfelé nyíló parabola, és ennek az x tengely alá eső része lesz jó, tehát a két zérushely közötti nyílt intervallum: ` m\in]-2;1[\setminus{-1} `. A -1-et azért kell itt kivennünk, mert mint korábban írtuk, abban az esetben nem másodfokú az eredeti egyenlőtlenség bal oldala.

Vegyük sorra milyen eseteink vannak tehát:
1) Ha ` m < -2 `, akkor lefelé nyíló parabolánk van, mert ` x^2 ` negatív, és a diszkrimináns is negatív, tehát a parabola teljes egészében az x tengely alatt van. Így minden valós ` x ` megfelel, tehát minden valós szám megoldás.

2) Ha ` m = -2 `, akkor is lefelé nyíló parabolánk van, a diszkrimináns 0, így a parabola csak egy pontban, ` x=3 `-ban érinti az x tengelyt, e pont kivételével minden más valós szám megfelel:

` -x^2+6x-9 =-(x^2-6x+9)=-(x-3)^2 < 0 \Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus{3} `

3) Ha ` -2 < m < -1 `, akkor még mindig lefelé nyíló parabolánk van, a diszkrimináns pozitív, így két zérushely is van, és mivel lefele néz a parabola, az x tengely alatt a zérushelyeken kívüli részen leszünk:

` x\in "]"-\infty;\frac{m-1-\sqrt{-2m^2-2m+4}}{m+1}[\cup ]\frac{m-1+\sqrt{-2m^2-2m+4}}{m+1};+\infty[ `

4) Ha ` m=-1 `, akkor a feladat elején leírt elsőfokú egyenlőtlenséget kapjuk, ekkor a megoldás: ` x\in "]"-\infty;3/2[ `

5) Ha ` -1 < m < 1 `, akkor ` x^2 ` már pozitív, így felfelé nyíló parabolánk van és a diszkrimináns még mindig pozitív, tehát két zérushelyünk van, és mivel felfelé néz a parabola, az x tengely alatt a zérushelyek közti részen leszünk:

` x\in "]"\frac{m-1-\sqrt{-2m^2-2m+4}}{m+1};\frac{m-1+\sqrt{-2m^2-2m+4}}{m+1}[ `

6) Ha ` m\geq 1 `, akkor még mindig felfelé nyíló parabolánk van, viszont a diszkrimináns már nempozitív, azaz vagy csak egy pontban érinti az x tengelyt, vagy teljesen felette van, így a szigorú egyenlőtlenség miatt nem lesz megfelelő ` x `, tehát ebben az esetben a megoldás halmaz üres halmaz.

Ellenőrzés: Látogasd meg a desmos.com nevű függvényábrázoló weboldalt, és gépeld be a képen látható sorokat. Ekkor az ` m ` értékét egy csúszkával tudod változtatni, és így szemléletesen is nyomon tudod követni a függvény viselkedését.