Matek

1). Felteszem úgy kell érteni a palástot, hogy az oldalél hossza 192 cm. A felszínhez kell az alja+teteje+a palást területe. Utóbbi egyszerű, 8 db ugyanolyan 6x192-es téglalapból áll. Az alja és a teteje egy szabályos nyölccszög, így a területét számolhatjuk úgy, hogy a középpontja körül felosztjuk 8 db egybevágó egyenlőszárú háromszögre, és kiszámoljuk egy ilyennek a területét, majd azt vesszük 8x-or. Egy ilyen háromszög szárszöge a teljes kör 8-ada, azaz 45°. Vágjunk félbe egy ilyen háromszöget a szimmetriatengelye mentén. Ekkor egy olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelyben van egy 22.5°-os szög, vele szemben az alapél fele, mellette pedig a háromszög magassága, az átfogó pedig az egyik szár. Innen vagy tangensel kapjuk a magasságot, és a területet számoljuk az alap*magasság/2 képlettel, vagy szinusszal számoljuk a szárat, és számolunk az ` \frac{ab\sin\gamma}{2} ` képlettel. Így vagy úgy, ` 173.82 ` cm2-t kapunk.

Így a felszín: ` A = 2*173.82+8*6*192 = 9563.64 ` cm2
A térfogat hasáb lévén: alapterület*magasság, azaz ` V = 173.82*192 = 33373.44 ` cm3

2) A tengelymetszet azt takarja, hogy a testet egy szimmetriatengelye mentén elvágjuk és a vágás mentén keletkezett síkidomot vesszük. Csonkakúp esetén ez éppen egy olyan trapéz lesz, amelynek alapjai az alapkör és a fedőkör átmérője.
Trapéz területe ` T = (a+c)/2*m ` ahol a,c a trapéz alapjai, m a magassága. Tudjuk a trapéz területét, és a két alapját, ebből már kiszomolható a magassága, ez egyben a csonkakúp magassága is.

` (12+8)/2*m = 45 \Rightarrow m = 4.5 ` cm

Csonkakúp térfogata: ` V = (\pi*m)/3(R^2+R*r+r^2) `, ahol m a csonkakúp magassága, R és r rendre az alap és fedőkörének a sugara.

Így a térfogat: ` V = (\pi*4.5)/3(6^2+6*4+4^2) = 114\pi ` cm3