Analízis egyenlőtlenség

Ez a kérdés matematikai bizonyítást igényel. A bizonyítás a Cauchy-Schwarz egyenlet használatával történhet. A Cauchy-Schwarz egyenlete azt mondja ki, hogy a két vektor által meghatározott inner product (dot product) négyzetének a legnagyobb értéke éppen a vektorok hosszának a szorzata. A Cauchy-Schwarz egyenlet használatával bizonyítható, hogy:

(int_a^b f(x) dx)^2 le (frac{b-a}{2}) * (int_a^b f^2(x) dx)

és

(int_a^b f^3(x) dx)^2 le (frac{b-a}{8}) * (int_a^b f^2(x) dx)

Ezeket a két egyenletet össze lehet hasonlítani a kérdésben adott egyenlettel.

Ezzel a bizonyítás bemutatásával azt jelenti, hogy a függvény f(x) pozitív és folytonos az [a, b] intervallumon, és teljesül a 6*(int_a^b f(x) dx)^2 le frac{b-a}{2}+8*(int_a^b f^3(x) dx) egyenlet.

Benjamin115 megoldására a reagálás

Kiindulásnak veendő két egyenlőtlenség:

`(int_a^b f(x) dx)^2 le (frac{b-a}{2}) * (int_a^b f^2(x) dx)` ` " (1)"`

és

`(int_a^b f^3(x) dx)^2 le (frac{b-a}{8}) * (int_a^b f^2(x) dx)` `" (2)"`

Nem látom bizonyítva még `(1)` és `(2)` teljesülését sem.


Nem inkább ebből a két egyenlőtlenségből akartál elindulni:

`(int_a^b frac{sqrt(2)}{2}f(x) dx)^2 le (frac{b-a}{2}) * (int_a^b f^2(x) dx)` ` " (1/a)"`
és
`(int_a^b frac{sqrt(8)}{8}f(x) dx)^2 le (frac{b-a}{8}) * (int_a^b f^2(x) dx)` ` " (2/a)"`

Hogyan tovább?