52) a) A képen látható a gúla. A belsejébe berajzolt derékszögű háromszög átfogója Pitagorasz tétellel számolható. A rövidebbik befogó azért 33, mert az éppen az alap négyzet középvonalának a fele.
` x = \sqrt{56^2+33^2} = 65 `
Mivel szabályos a gúla, a palást négy ugyanolyan háromszögből áll, ezeknek előbb számoltuk ki a magasságát. A felszínt az alapterület és a palást területe adja:
` A=66^2+4\cdot \frac{66\cdot 65}{2} = 12 936\quad cm^2`

b) Ha a feladatlap illusztrációjának megfelelő módon félbevágjuk a gúlát, akkor a csonkagúla tetején keletkező kisebb négyzet éle éppen az oldallapi háromszög középvonala, tehát az alapél fele, azaz 33 cm.
Csonkagúla térfogata: ` V=\frac{m(t+\sqrt{t\cdot T}+T)}{3} ` ahol m a gúla magassága, t és T pedig rendre a kis és nagy négyzet területe. Így ` V=\frac{56(33^2+\sqrt{33^2\cdot 66^2}+66^2)}{3} = 142 296\quad cm^3`

A gráfos feladatrész többi része nem látszik, így azt nem tudom leírni.

17.3. Könnyen belátható, hogy a felül keletkező kis háromszög élei éppen harmada az alapháromszög éleinek. Szabályos háromszög lévén, a terület számolható így: ` T=a^2\frac{\sqrt{3}}{4} ` ahol `a` a háromszög oldalhossza. Így az alapháromszög területe: ` T=6^2\frac{\sqrt{3}}{4}= 9\sqrt{3}` A felső kis háromszög hasonló az alsóhoz, mivel minden szögük megegyezik. A területek négyzetesen arányosak, ezért ha az oldalai harmadakkorák az alapháromszögének, akkor a területe kilenced akkora lesz mint az alsóé, azaz ` t=\sqrt{3}`. A gúla térfogata hasonlóan az előzőhöz: ` V=\frac{9((\sqrt{3})^2+\sqrt{(\sqrt{3})^2\cdot(9\sqrt{3})^2}+(9\sqrt{3})^2)}{3} = 819\quad cm^3 `

17.5. Szinte teljesen ugyanaz mint az előbb, csak most ötszög alapú csonkagúlánk van, ezért egy kicsit többet kell számolni. Az alsó és felső ötszög most is hasonlóak. A hasonlóság aránya az oldalak miatt `\lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ` így a területeknél ` \lambda^2=\frac{4}{9} `. Most számoljuk az alapötszög területét. Ezt úgy csináljuk, hogy feldaraboljuk a középpontja körül 5 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, és egy ilyennek kiszámoljuk a területét majd azt vesszük 5-ször. Vegyük az egyik ilyen háromszöget. A szögszára a 360° ötödrésze, azaz 72°. Ha ezt a háromszöget a szimmetriatengelye mentén elfelezzük, akkor egy derékszőgú háromszöget kapunk, melyben van egy 36°-os szög, az azzal szemközti befogó az alapél fele, azaz 3 cm. Innen kétféle úton is folytathatjuk. Vagy kiszámoljuk a másik befogót, ami a háromszög magassága, és számolunk az alap*magasság/2 képlettel, vagy kiszámoljuk az átfogót, ami a két egyenlő szár közül az egyik, és az ` \frac{ab\sin \gamma}{2} ` képlettel számoljuk a területet. Mindkét esetben trigonometriával számolhatjuk az ismeretlen oldalt (tangens, szinusz). Mindkétféleképpen azt kapjuk az ötszög területére, hogy ` 61.9372\quad cm^2 `. A felső ötszög területe így ` \frac{4}{9}\cdot 61.9372 = 27.5276\quad cm^2`

A szokásos csonkagúla képlettel, felhasználva, hogy a magasság 20 cm: ` 871.7082\quad cm^3`

Mivel ` 1\quad cm^3 = 1\quad ml ` így ` 8.717\quad dl ` víz fér a vázába.