Matek sos

Meg kell oldani a másodfokú egyenleteket, majd "nézelődünk", hogy mely intervallumok lesznek a jók.

Csinálhatjuk megoldóképlettel is, de sok esetben egyszerűbb, ha végig gondoljuk, hogy tudunk-e találni két olyan számot, melynek a szorzata ` c ` azaz a konstans együttható, összegük pedig ` b ` azaz az elsőfokú együttható, mert ha ezek megvannak, akkor már könnyű szorzattá alakítani. Hiszen `(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 `

Az első példánál mivel: `(-10)*(-2)=20` és ` -10+(-2)=-12`, így `(x-10)(x-2)\leq 0 ` a megoldandó egyenlőtlenség.
A bal oldali függvénynek zérushelyei vannak `x=10 ` és `x=2 `-ben. A megfelelő intervallum a két zérushely közötti rész, beleértve a határpontokat is (mivel megvan engedve az egyenlőtlenség). Azért a köztes rész, mert 1) a fő együttható pozitív, ezért felfelé nyíló parabolánk van, így az x tengely alá eső rész lesz a jó. Vagy 2) egy kéttényezős szorzat akkor negatív, ha ellentétes előjelűek, azaz vagy ` x-10\geq0 ` és ` x-2\leq0 ` vagy pedig fordítva. Első esetben nem lesz közös része a két egyenlőtlenségnek, így nem kapunk megoldást, a második esetből pedig ugyanazt kapjuk mint 1)-nél. Tehát a megoldás ` x\in[2;10] `

A 2. példánál először szorozzuk az egészet (-1)-el, hogy az `x^2 ` pozitív legyen, ekkor megfordul a relációs jel iránya, majd az elsőben használt gondolatmenettel `x\in]1;7[` lesz a megoldás. (a határok most nem jók, mert szigórú egyenlőtlenség van.

A 3. példánál már olyan számok vannak, hogy nem működik a trükk, ezért kénytelenek vagyunk a megoldó képletet használni:
` x_{1,2} = \frac{-7\pm\sqrt{49-4\cdot 4\cdot (-5)}}{8} = \frac{-7\pm\sqrt{129}}{8}`
Mivel "szigorúan nagyobb" van most, ezért az a rész kell, ahol a parabola az x tengyel felett van, tehát a zérushelyeken kívül eső részek a megoldás, a határok nélkül: ` x\in "]"-\infty; \frac{-7-\sqrt{129}}{8} [ \cup ] \frac{-7+\sqrt{129}}{8};\infty [ `