11) Ezekre a kérdésekre nincsenek konkrét egyértelmű válaszok, több jó megoldás is lehetséges. Ha megrajzolnánk Venn diagrammal 4 halmazt, akkor azt látnánk, hogy 6 db olyan tartományunk van, ami két halmaz metszéspontja. Mivel mindegyikben kell lennie legalább 1 elemnek, ezért a konstrukciót csak úgy tudjuk megvalósítani, ha legalább 6 különböző elem közül válogatunk. Ezek lehetnek bármik, pl. az abc első hat betűje, vagy az első hat természetes szám. Én ezt fogom használni.

Egy lehetséges megoldás: ` {1,2,3}; {1,4,5}; {2,4,6}; {3,5,6} ` Természetesen más elrendezés is lehetséges. Háromnál kevesebb elemű halmazokkal nem oldható meg a feladat, ugyanis ha csak két elemű halmazaink lennének, akkor lennének olyan halmazpárok, melyeknek nincs közös eleme. Mivel 4 halmazunk van és bármely kettőnek a metszete nem üres, így egy-egy halmazban legalább 3 elemnek kell lennie, mind a 3 másik halmazzal egy-egy közös elem, máskülönben lenne ami kimarad. A feladatot lehetséges geometriai módon is megoldani, lásd a csatolt képen lévő ábrát. A pontok az elemek, és az egy halmazba tartozó elemek az egy egyenesen elhelyezkedő pontok.

Az öt halmazos konstrukcióhoz legalább 4 elemű halmazokra van szükség, a korább indoklás miatt. Továbbá ha megrajzolnánk az 5 halmazos Venn-diagramot (már nagyon zsúfolt lenne, de meg lehet, ha mégtöbb halmazunk lenne akkor is van mód kiszámolni ezeket, de ezt még nem tanuljátok 9.-ben) akkor látnánk, hogy 10 db kettős metszetes síkrészünk van, így most legalább 10 különböző elemből kell összeválogatni a halmazokat.
Egy lehetséges megoldás, most betűkkel: ` {a,b,c,d};{a,e,f,g};{b,g,h,i};{c,f,i,j},{d,e,h,j} `

12) Itt is van több jó megoldás. A legegyszerűbb szerintem, ha a 3-al való osztási maradékok szerint alkotunk három halmazt. Az első halmazba kerüljenek azok a természetes számok, melyek 3-al osztva 0 vagy 1 maradékot adnak. A második halmazba amik 0 vagy 2 maradékot adnak, végül a harmadik halmazba azok, amelyek 1 vagy 2 maradékot adnak. Az így elkészített három halmaz megfelel a feladat feltételeinek.

Egy másik jó megoldást lehet még, ha a 7-el való osztási maradékokat vizsgáljuk. 3 halmazból álló Venn-diagramot könnyen lehet rajzolni, és látható, hogy 7 síkrészünk lesz (a halmazon kívüli végtelen síkrészt nem nézve). 3 különálló rész, 3 kettes metszet, és a 3 halmaz közös része. Mindegyik síkrészbe tehetjük a 7-el osztva egy bizonyos maradékot adó természetes számok összességét. Mivel 7-el osztunk, így 7 féle maradékunk lehet (0-6). Az így kreált három halmaz is megfelel a feladat feltételeinek.

Megjegyzés: Ezek a feladatok a 9.-es mozaikos matematika tankönyvből vannak. Ha felmész a kiadó weboldalára, és rákeresel erre a tankönyvre, akkor ott letöltethő a könyvhöz tartozó megoldókulcsos pdf. Ott is megtalálod a megoldásokat, habár sokszor elég szűkszavúak, és időnként vannak benne hibák is. Ehhez hasonló megoldások lesznek ott is.