Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matematika

60
Bizonyítsátok be,hogy a háromszög oldalfelezői,valamint a háromszög szögfelezői, ősszefutó egyenesek;
Bizonyítsátok be Ceva tételének fordítottjával.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matematika, #KÉRLEK, #matek
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Először a tisztánlátás érdekében javaslom a Ceva tétel és megfordításának tanulmányozását.
(Ez megtalálható http://lexikon.fazekas.hu/165.html helyen is.)
Akkor beszélünk összefutó egyenesekről, ha azok egy pontban metszik egymást vagy párhuzamosak egymással.
Tehát a tétel azon részére van szükségünk, amikor az osztóviszonyos egyenletből következtetünk az összefutó egyenesekre.

Induljunk ki az `ABCtriangle`-ből. Először a felelezőmerőlegesekkel foglalkozunk.
Legyen tehát `A_1`, `B_1` és `C_1` a megfelelő oldalfelezőpontok. Triviálisan teljesül, hogy `AC_1` és `C_1B` irányított azakaszok egyenlők és azonos irányúak.
Ugyanez mondható el `BA_1` és `A_1C` valamint `CB_1` és `B_1A` irányított szakaszokról is.
Tehát teljesül `frac{AC_1}{C_1B}*frac{BA_1}{A_1C}*frac{CB_1}{B_1A}`=1 osztóviszonyos egyenlet, ebből pedig követekezik, hogy az `A``A_1`, `BB_1` és `C``C_1` egyenesek összefutóak.

A másik részben a szögfelezőkkel foglalkozunk.
Legyen tehát `A_1`, `B_1` és `C_1` a megfelelő (belső szögfelezős) metszéspontok az `BC`, `CA` és `AB` oldalon. A háromszög szögfelezőire rendre alkalmazhatjuk a szögfelező tételt.
`frac{AC_1}{C_1B}=|frac{CA}{CB}|`; `frac{BA_1}{A_1C}=|frac{AB}{AC}|`; `frac{CB_1}{B_1A}=|frac{BC}{BA}|`. Az egyenletek a szakaszok irányításaitól függetlenül igazak maradnak. Ha összeszorozzuk őket, akkor adódik `frac{AC_1}{C_1B}*frac{BA_1}{A_1C}*frac{CB_1}{B_1A}`=1 osztóviszonyos egyenlet, ebből pedig követekezik, hogy az `A``A_1`, `BB_1` és `C``C_1` egyenesek összefutóak. A külső szögfelezőkre hasonló godolatmenettel ugyanez kimondható azzal a megszorítással, hogy az `ABCtriangle` nem lehet egyenlőszárú háromszög és itt természetesen nem súlyvonalakról beszélünk. Kérdésem csupán az, hogy tanultátok-e ezt a külső szögfelezőkre kimondott tételt?


Módosítva: 3 hete
1

Sajnos kénytelen vagyok javítani az előző ablakban leírtakat, mert csak részben igaz.
Csak a belső szögfelezőkre igaz az állítás. A külső szögfelezőkre az osztóviszonyos egyenlet
bal oldala negatív így ezekről nem tudunk mondani semmit se.
A leadandó dolgozatban csak a belső szögfelezőkről tegyél említést!
1