Másodfokú egyenlet,abrázolás

`f(x)=-1/2*(x+3)^2+5`

Függvénytranszformációk:

`y=x^2` alapfüggvény

`y=(x+3)^2` eltolás az x tengely mentén negatív irányba 3 egységgel

`y=1/2(x+3)^2` zsugorítás az y tengely mentén felére

`y=-1/2(x+3)^2` tükrözés az x tengelyre

`y=-1/2(x+3)^2+5` eltolás az y tengely mentén pozitív irányba 5 egységgel

Ábra

A függvény megrajzolásakor tehát:
A függvény az alapfüggvényhez képest tükrözve lett, lefele nyíló parabolát kaptunk.
A szélsőértéke (maximuma) a (-3;5) pontban lesz.
A függvény képe egy zsugorított parabola.

h,

`-x^2+7x ge 12` /-12

`-x^2+7x-12 ge 0`

`x^2-7x+12 le 0`

Teljes négyzetté alakítjuk:

`(x-3.5)^2-12.25+12 le 0`

`(x-3.5)^2-0.25 le 0` /+0.25

`(x-3.5)^2 le 0.25`

A gyökvonás trükkösen: mikor lesz a négyzetes kifejezés értéke kisebb, mint 0,25?

Ha `-0.5 le x-3.5 le 0.5` /+3,5

`3 le x le 4` Ez a megoldás.

Az ellenőrzést 3-nál kisebb számmal, 3-mal, 3 és 4 közöttivel, 4-gyel és 4-nél nagyobbal el kell végezni.

g,

`x^2+x-20 gt 0`

egy másik módszer: szorzattá alakítás

`(x+5)(x-4) gt 0`

Egy szorzat akkor pozitív, ha

I. mindkét tényezője pozitív:

`x gt 5 cap x gt -4` `rightarrow` `x gt 5`

II. mindkét tényezője negatív:

`x lt 5 cap x lt -4` `rightarrow` `x lt -4`

Megoldás: `]-oo;-4[ cup ]5;oo[`

e,

`x^2+8x+p=0`

Akkor van két különböző gyöke az egyenletnek, ha a diszkrimináns (a megoldóképletben a gyökjel alatti mennyiség) nagyobb, mint nulla.

`a=1` ; `b=8` ; `c=p`

`D=b^2-4ac gt 0`

`8^2-4*1*p gt0`

`64-4p gt0` /+4p

`4p lt 64` /:4

`p lt 16`

Ha a paraméter értéke kisebb, mint 16, akkor az egyenletnek két valós gyöke van.

Ha a p nagyobb, mint 16, akkor is két gyöke van az egyenletnek, csak nem a valós számok halmazán.

Ha egyenlő, akkor egy gyöke van.