Háromszög

Ha jól értelmezem a feladatot, akkor a csatolt képen látható módon megrajzolt háromszögünk van. Mivel a súlyvonal a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt jelenti, a keletkező szakaszok hosszai megegyeznek, jelöljük őket `x`-el. Mivel egy háromszögben a belső szögek összege `180^\circ` és két szög összege `72^\circ` , így ha az egyik ismeretlen szöget a nagy háromszögben `\alpha`-val jelöljük, akkor a harmadik szög `180°-(72°+\alpha)`.

Ezután felhasználjuk a szinusztételt, amelynek egyik féle megfogalmazása, hogy egy háromszögben két oldal aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának az arányával. Írjuk fel a tételt a megfelelő oldalakra és szögekre mindkét kisebb háromszögben, így a következő kétismeretlenes egyenletrendszert kapjuk:

` \frac{\sin 46^\circ}{\sin \alpha} = \frac{x}{12}`

` \frac{\sin 26^\circ}{\sin 72^\circ+\alpha} = \frac{x}{12}`

Az alsónál felhasználtuk a szinusznak azt a tulajdonságát, hogy `\sin(180^\circ-x) = \sin x`

Mindkét egyenlet egyenlő `\frac{x}{12}`-el, így azok egymással is. Kiküszöbölés és keresztbeszorzás után kapjuk a következő egyenletet:

`\sin46^\circ\cdot \sin(72^\circ+\alpha) = \sin26^\circ\cdot \sin\alpha`

A következő lépésben az egyenlet bal oldalán felhasználjuk a szinuszra vonatkozó addíciós tételt:
`\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cdot \cos\beta + \cos\alpha\cdot \sin\beta`
Így:
`\sin46^\circ\cdot(\sin72^\circ\cdot \cos \alpha+\cos72^\circ\cdot \sin\alpha) = \sin26^\circ\cdot \sin\alpha`
Bal oldalon elvégezzük a szorzást. Ezután háromszög lévén, feltehetjük, hogy `\alpha\ne 0^\circ,180^\circ`, így `\sin \alpha\ne 0`, tehát gyökvesztés nélkül oszthatunk vele. Így kapjuk, hogy
`\sin 46^\circ\cdot \sin 72^\circ\cdot \text{ctg }\alpha + \sin46^\circ\cdot\cos72^\circ = \sin26^\circ`
A szöfüggvény értékek kiszámolása után (4 tizedesjegyre kerekítve) és rendezés után kapjuk, hogy
` \text{ctg }\alpha = 0.3159`, innen ` \alpha = 72.4687^\circ`
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy `x = 9.0525`
A bal oldali kisebb háromszög harmadik szöge `180^\circ-46^\circ-72.4687^\circ = 61.5313^\circ`
A jobb oldali kisebb háromszög harmadik szöge az előző mellékszöge, így az `180^\circ-61.5313^\circ = 118.4687^\circ`
Mindkét háromszögben ismerjük két oldal hosszát, és az általuk bezárt szöget, így a területük számolható a `T=\frac{1}{2}ab\sin\gamma` képlettel.
A teljes háromszög területét a két kis háromszög területének összege adja:
`\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9.0525\cdot \sin61.5313^\circ+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9.0525\cdot \sin118.4687^\circ = 95.4942` cm2