Nos csak azért, mert sajnállak, a deriválós módszert nem írom le, mert ahogy láttam, halvány fingod sincs a témához; érettségid talán van, így ezt remélhetőleg felfogod; remélem nem vernek agyon azon a nagy egyetemen, ahova jársz, ha középiskolás módszerrel bizonyítok:

`x^2/a^2-y^2/b^2=1`

`y=mx pm root()(a^2m^2-b^2)`

A `v(m;1)` irányvektorú egyenes azt jelenti, hogy a kérdéses egyenes egyenlete:

`y=mx+c` (c-vel jelölöm a tengelymetszetet, ha esetleg zavarna, mert a b már foglalt).

Azt kell bebizonyítani, hogy `c=pmroot()(a^2m^2-b^2)`.

Próbálok nagyjából minden sor után egy kis információt írni, hogy felfogd.

`y=mx+c`

Négyzetreemeljük.

`y^2=(mx+c)^2=m^2x^2+2mcx+c^2`

Behelyettesítjük a hiperbola egyenletébe a kifejezett `y^2`-et.

`x^2/a^2-(m^2x^2+2mcx+c^2)/b^2=1`

Átalakítjuk másodfokú polinommá:

`(1/a^2-m^2/b^2)*x^2-(2mc)/b^2*x+(c^2/b^2-1)=0`

A hiperbola és az egyenes ott érinti egymást, ahol a fenti egyenletnek 1 megoldása van, vagyis a diszkrimináns nulla (azt remélem tudod, micsoda).

`((2mc)/b^2)^2-4*(1/a^2-m^2/b^2)*(c^2/b^2-1)=0`

Felbontom a zárójeleket, néggyel egyszerűsítettem.

`cancel((m^2c^2)/b^4)-(c^2/(a^2b^2)-1/a^2-cancel((m^2c^2)/b^4)+m^2/b^2)=0`

`c^2/(a^2*b^2)-1/a^2+m^2/b^2=0`

közös nevező.

`(c^2-b^2+m^2a^2)/(a^2*b^2)=0`

A nevezővel szorozhatunk is akár (mivel az biztosan nem nulla), és a c paraméter kifejezésére törekszünk.

`c^2=m^2a^2-b^2`

`c=pmroot()(m^2a^2-b^2)`

Az állítás tehát be lett bizonyítva, sok sikert az egyetemeden

Lentebb egy deriváltas módszert láthatsz, bár nem hiszem, hogy tisztában vagy az implicit függvénnyel

Ha egy egyenes irányvektora ` v(1;m) ` akkor az azt jelenti, hogy a meredeksége pontosan ` m `. Hiszen 1 egység "jobbra mozgással" `m` egységnyit "mozgunk" felfelé.

Alakítsuk át az általános hiperbola egyenletét úgy, hogy beszorzással eltűntetjük a törteket:
` b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2`
Ezután implicit módon deriváljuk mindkét oldalt. `a,b ` paraméterek konstansok, `y ` pedig függvényként viselkedik, így ennek megfelelően kell deriválni:
`2b^2x-2a^2y\cdot y' = 0 `
Innen kifejezzük `y' `-t. Ez az implicit deriváltfüggvény, ami a pontonkénti meredekségét írja le a hiperbolának. Mi azt szeretnénk, hogy ez `m ` legyen, így az ennek megfelelő egyenlet:
`y' = \frac{b^2x}{a^2y} = m `
Ebből `x `-et kifejezve:
`x=\frac{a^2}{b^2}ym `
Ezt a hiperbola egyenletébe helyettesítve:
` \frac{a^4}{b^2}y^2m^2-a^2y^2=a^2b^2 \quad \text{/}\cdot b^2 `

`a^4y^2m^2-a^2b^2y^2=a^2b^4 `

`y^2(a^4m^2-a^2b^2)=a^2b^4 `

`y^2=\frac{a^2b^4}{a^4m^2-a^2b^2} = \frac{a^2b^4}{a^2(a^2m^2-b^2)} = \frac{b^4}{a^2m^2-b^2} \quad \text{/} \sqrt{} `

` y = \pm\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}} `
A kapott két megoldást az `x`-re kapott kifejezésbe helyettesítve kettő, a feltételeknek eleget tevő pontot kapunk a hiperbolán:
` P_1(\frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2-b^2}} ;\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}) \quad P_2(-\frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2-b^2}};-\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}) `

Görbe `(x_0;y_0)` pontjához húzott érintő egyenlete:

` y = y'(x_0)(x-x_0)+y_0 `

` P_2 `-t használva:
` y = m(x+\frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2-b^2}})-\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}=mx + \frac{a^2m^2-b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}`

Felhasználva, hogy ` \frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x} ` (gyöktelenítés):

` y= mx + \sqrt{a^2m^2-b^2} `
` P_1 `-el hasonlóan adódik, hogy ` y= mx - \sqrt{a^2m^2-b^2} `

Összefoglalva tehát: ` y= mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} `, és ezt kellett bizonyítani.