Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Matek!

200
Bizonyítsuk be,hogy az `(x^2)/a^2-y^2/b^2=1` hiperbólához húzott v(1;m) irányvektorú érintő egyenlete `y=mx+-sqrt(a^2m^2-b^2)`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Nos csak azért, mert sajnállak, a deriválós módszert nem írom le, mert ahogy láttam, halvány fingod sincs a témához; érettségid talán van, így ezt remélhetőleg felfogod; remélem nem vernek agyon azon a nagy egyetemen, ahova jársz, ha középiskolás módszerrel bizonyítok:

`x^2/a^2-y^2/b^2=1`

`y=mx pm root()(a^2m^2-b^2)`

A `v(m;1)` irányvektorú egyenes azt jelenti, hogy a kérdéses egyenes egyenlete:

`y=mx+c` (c-vel jelölöm a tengelymetszetet, ha esetleg zavarna, mert a b már foglalt).

Azt kell bebizonyítani, hogy `c=pmroot()(a^2m^2-b^2)`.

Próbálok nagyjából minden sor után egy kis információt írni, hogy felfogd.

`y=mx+c`

Négyzetreemeljük.

`y^2=(mx+c)^2=m^2x^2+2mcx+c^2`

Behelyettesítjük a hiperbola egyenletébe a kifejezett `y^2`-et.

`x^2/a^2-(m^2x^2+2mcx+c^2)/b^2=1`

Átalakítjuk másodfokú polinommá:

`(1/a^2-m^2/b^2)*x^2-(2mc)/b^2*x+(c^2/b^2-1)=0`

A hiperbola és az egyenes ott érinti egymást, ahol a fenti egyenletnek 1 megoldása van, vagyis a diszkrimináns nulla (azt remélem tudod, micsoda).

`((2mc)/b^2)^2-4*(1/a^2-m^2/b^2)*(c^2/b^2-1)=0`

Felbontom a zárójeleket, néggyel egyszerűsítettem.

`cancel((m^2c^2)/b^4)-(c^2/(a^2b^2)-1/a^2-cancel((m^2c^2)/b^4)+m^2/b^2)=0`

`c^2/(a^2*b^2)-1/a^2+m^2/b^2=0`

közös nevező.

`(c^2-b^2+m^2a^2)/(a^2*b^2)=0`

A nevezővel szorozhatunk is akár (mivel az biztosan nem nulla), és a c paraméter kifejezésére törekszünk.

`c^2=m^2a^2-b^2`

`c=pmroot()(m^2a^2-b^2)`

Az állítás tehát be lett bizonyítva, sok sikert az egyetemeden ;)

Lentebb egy deriváltas módszert láthatsz, bár nem hiszem, hogy tisztában vagy az implicit függvénnyel :D
Módosítva: 1 éve
0

Ha egy egyenes irányvektora ` v(1;m) ` akkor az azt jelenti, hogy a meredeksége pontosan ` m `. Hiszen 1 egység "jobbra mozgással" `m` egységnyit "mozgunk" felfelé.

Alakítsuk át az általános hiperbola egyenletét úgy, hogy beszorzással eltűntetjük a törteket:
` b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2`
Ezután implicit módon deriváljuk mindkét oldalt. `a,b ` paraméterek konstansok, `y ` pedig függvényként viselkedik, így ennek megfelelően kell deriválni:
`2b^2x-2a^2y\cdot y' = 0 `
Innen kifejezzük `y' `-t. Ez az implicit deriváltfüggvény, ami a pontonkénti meredekségét írja le a hiperbolának. Mi azt szeretnénk, hogy ez `m ` legyen, így az ennek megfelelő egyenlet:
`y' = \frac{b^2x}{a^2y} = m `
Ebből `x `-et kifejezve:
`x=\frac{a^2}{b^2}ym `
Ezt a hiperbola egyenletébe helyettesítve:
` \frac{a^4}{b^2}y^2m^2-a^2y^2=a^2b^2 \quad \text{/}\cdot b^2 `

`a^4y^2m^2-a^2b^2y^2=a^2b^4 `

`y^2(a^4m^2-a^2b^2)=a^2b^4 `

`y^2=\frac{a^2b^4}{a^4m^2-a^2b^2} = \frac{a^2b^4}{a^2(a^2m^2-b^2)} = \frac{b^4}{a^2m^2-b^2} \quad \text{/} \sqrt{} `

` y = \pm\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}} `
A kapott két megoldást az `x`-re kapott kifejezésbe helyettesítve kettő, a feltételeknek eleget tevő pontot kapunk a hiperbolán:
` P_1(\frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2-b^2}} ;\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}) \quad P_2(-\frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2-b^2}};-\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}) `

Görbe `(x_0;y_0)` pontjához húzott érintő egyenlete:

` y = y'(x_0)(x-x_0)+y_0 `

` P_2 `-t használva:
` y = m(x+\frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2-b^2}})-\frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}=mx + \frac{a^2m^2-b^2}{\sqrt{a^2m^2-b^2}}`

Felhasználva, hogy ` \frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x} ` (gyöktelenítés):

` y= mx + \sqrt{a^2m^2-b^2} `
` P_1 `-el hasonlóan adódik, hogy ` y= mx - \sqrt{a^2m^2-b^2} `

Összefoglalva tehát: ` y= mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} `, és ezt kellett bizonyítani.
Módosítva: 1 éve
0