`log_2 (x+1)+log_2 3 = log_2 24`

A logaritmusos feladatoknál különösen fontosak a kezdeti feltételek.

`x gt -1`

`log_2 (3*(x+1) = log_2 24`

Ha az alapok megegyeznek, az argumentum is egyenlő.

`3(x+1)=24`

`x+1=8`

`x=7`

A kezdeti feltételnek megfelel, ez megoldása az egyenletnek.

Ellenőrzés:

`log_2 (7+1) + log_2 3 = log_2 24`

`log_2 (3*8) = log_2 24`

`log_2 24 = log_2 24`

b,

`log_2 (3x+4)-log_2 5 = log_2 (x+2)`

Felt: `x gt -4/3`

`log_2 ((3x-4)/5) = log_2 (x+2)`

`(3x-4)/5=x+2`

`3x-4=5x+10`

`2x=-14`

`x=-7` A kezdeti feltételeknek ez nem felel meg, az egyenletnek nincs megoldása.

4, g,

`log_4 (5x+7)-log_4(x+5)=log_4 3`

Felt: `x gt -7/5`

`log_4((5x+7)/(x+5))=log_4 3`

`(5x+7)/(x+5)=3`

`5x+7=3x+15`

`2x=8`

`x=4` A kezdeti feltételnek megfelel, ez megoldása az egyenletnek.

Ellenőrizni mindig.

h,

`2*log_3 (4x+8)-log_3 (3x+5)=log_3 (x+9)`

Felt: `x gt -5/3`

`log_3 ((4x+8)^2/(3x+5))=log_3 (x+9)`

`(4x+8)^2/(3x+5)=x+9`

`16x^2+64x+64=3x^2+32x+45`

`13x^2+32x+19=0`

`x_(1,2)=(-32 pm root()(32^2-4*13*19))/(2*13)` = `(-32 pm 6)/26`

`x_1` = -1 `in` É.T.

`x_2` = `-19/13` `in` É.T.

Megoldások: `x_1=-1` ; `x_2=-19/13`.

5, i,

`lg(3x+5)+lg(x+5)=lg(43x-5)`

Felt: `x gt 5/43`

`(3x+5)(x+5)=43x-5`

`3x^2+20x+25=43x-5`

`3x^2-23x+30=0`

`x_(1,2)=(23 pm root()(23^2-4*3*30))/(2*3)` = `(23 pm 13)/6`

`x_1=6` `in` É.T.

`x_2=5/3` `in` É.T.

Megoldás: `x_1=6` és `x_2=5/3`

j,

`lg 5 + lg(x+5)-2*lg(3x-1)=-lg(x+13)`

Felt: `x gt 1/3`

`lg((5*(x+5)/(3x-1)^2)=lg(1/(x+13))`

`(5*(x+5))/(3x-1)^2=1/(x+13)`

`5*(x+5)(x+13)=(3x-1)^2`

`5(x^2+18x+65)=9x^2-6x+1`

`4x^2-96x-324=0`

`x^2-24x-81=0`

`(x+3)(x-27)=0`

`x_1=-3` `notin` É.T.

`x_2=27` `in` É.T.

Megoldás: x=27.

6, k,

`log_4 (4x-7)-log_4 (1-x)=log_4(7x+3)`

Felt: `-3/7 lt x lt 1`

`(4x-7)/(1-x)=7x+3`

`4x-7=(7x+3)(1-x)`

`4x-7=-7x^2+4x+3`

`7x^2=10`

`x_1=root()(10/7)` `notin` É.T. (1-nél nagyobb)

`x_2=-root()(10/7)` `notin` É.T. (ez meg -1-nél kisebb)

Nincs megoldás.

l,

`lg(x-8)-lg(3x-4)=lg(x-5)`

Felt: `x gt 8`

`(x-8)/(3x-4)=x-5`

`x-8=(x-5)(3x-4)`

`x-8=3x^2-19x+20`

`3x^2-20x+28=0`

`x_(1,2)=(20 pm root()(20^2+4*3*28))/(2*3)` = `(20 pm 8)/6`

`x_1=14/3` `notin` É.T.

`x_2=2` `notin` É.T.

nincs megoldás


7, m,

`log_5 2-log_5 (x-6)=log_5 (x-3) - 1`

felt: `x gt 6`

`log_5 (2/(x-6))=log_5 ((x-3)/5)`

`2/(x-6)=(x-3)/5`

`(x-6)(x-3)=10`

`x^2-9x+18=10`

`x^2-9x+8=0`

`(x-1)(x-8)=0`

`x_1=1` `notin` É.T.

`x_2=8` `in` É.T.

Megoldás: x = 8

n,

`log_8 (3x+1)+log_8 (5x-1)=4/3`

Felt: `x gt 1/5`

`log_8 (3x+1)+log_8 (5x-1)=log_8 8^(4/3)`

`8^(4/3)` = `root(3)(8^4)` = `2^4` = 16

`(3x+1)(5x-1)=16`

`15x^2+2x-1=16`

`15x^2+2x-17=0`

`x_(1,2)=(-2 pm root()(2^2+4*15*17))/(2*15)` = `(-2 pm 32)/30`

`x_1=1` `in` É.T.

`x_2=-17/15` `notin` É.T.

Megoldás: `x=1`