Valaki tud segíteni?

7,

`7^(2x-1)=9^(4x-2)`

`7^(2x-1)=9^(2*(2x-1))`

`7^(2x-1)=81^(2x-1)`

A kitevők egyenlők, az alapok viszont különböznek; ez csak úgy lehetséges, ha a kitevő nulla (mert akkor az exponenciális kifejezés értéke mindkét esetben 1).

2x-1=0 /+1

2x=1 /:2

`color(red)(x=1/2)`

b,

`(1/16)^(4-2|x-3|)=256`

`(1/16)^(4-2|x-3|)=(1/16)^(-2)`

Az alapok megegyeznek, a kitevők is egyenlők:

`4-2|x-3|=-2`

Az abszolutérték függvényt két részre bontjuk, ahol előjelet vált, ez az x=3 helyen lesz.

I. Ha `x lt 3`

`4-2*(-x+3)=-2`

`4+2x-6=-2`

`2x-2=-2` /+2

`color(red)(x=0)` Mivel ez kisebb 3-nál, így ez megoldása az egyenletnek.

II. Ha `x ge 3`

`4-2(x-3)=-2`

`4-2x+6=-2`

`10-2x=-2` /-10

`-2x=-12` /:(-2)

`color(red)(x=6)` Ez eleme az értelmezési tartománynak, ez megoldása az egyenletnek.


c,

`0.5^(x^2+2x-35)=1`

nulladik hatvány egy, ezért a kitevő értéke nulla.

`x^2+2x-35=0`

Megoldóképlet vagy szorzattá alakítás:

`(x-5)(x+7)=0`

szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

`color(red)(x_1=5)`

`color(red)(x_2=-7)`

8, d,

`16^(|x|-2)=4`

16-nak a négyzetgyöke, vagyis az `1/2`-dik hatványa 4.

`16^(|x|-2)=16^(1/2)`

`|x|-2=1/2` /+2

`|x|=5/2`

`color(red)(x_1=5/2)` ; `color(red)(x_2=-5/2)`.

e,

`(5/3)^(3x+7)=(9/25)^(x-3)`

`(5/3)^(3x+7)=(25/9)^(3-x)`

`(5/3)^(3x+7)=(5/3)^(2(3-x))`

`3x+7=2(3-x)`

`3x+7=6-2x` /-7

`3x=-1-2x` /+2x

`5x=-1` /:5

`color(red)(x=-1/5)`

f,

`100^x=0.000001`

`10^(2x)=10^(-6)`

`2x=-6`

`color(red)(x=-3)`

9, g,

`49^x=-7`

Ennek nincs megoldása, 49 akárhanyadik kitevője nagyobb nullánál.

h,

`(1/0.3)^(4+3x)=(100/9)^x`

`(1/(3/10))^(4+3x)=(10+3)^(2x)`

`(10/3)^(4+3x)=(10/3)^(2x)`

`4+3x=2x` /-3x

`-x=4`

`color(red)(x=-4)`

i,

`7^(2-4x)=1/49^(7+6x)`

`7^(2-4x)=7^(-2(7+6x))`

`2-4x=-14-12x` /+14

`16-4x=12x` /+4x

`16x=16` /:16

`color(red)(x=1)`

10, a,

`125*5^(3x)=27*27^x`

`5^3*5^(3x)=3^3*3^(3x)`

`5^(3x+3)=3^(3x+3)`

A kitevők egyenlők, csak akkor lehet, ha a kitevő értéke nulla.

`3x+3=0` /-3

`3x=-3` /:3

`color(red)(x=-1)`

b,

`3*16^x=2*9^(2x)`

`3*2^(4x)=2*3^(4x)` /:3 :2

`2^(4x-1)=3^(4x-1)`

`4x-1=0` /+1

`4x=1` /:4

`color(red)(x=1/4)`

11, c,

`9*2^x*5^x=100*3^x`

`3^2*10^x=10^2*3^x` /:100 :9

`10^(x-2)=3^(x-2)`

x-2 = 0

`color(red)(x=2)`

d,

`8^(x+1)+4*5^(3x+2)=125^(x+1)+2^(3x+2)`

`2^(3x+3)+4*5^(3x+2)=5^(3x+3)+2^(3x+2)`

`8*2^(3x)+4*25*5^(3x)=125*5^(3x)+4*2^(3x)`

Az azonos alapú tagokat egy oldalra rendezzük.

`8*2^(3x)-4*2^(3x)=125*5^(3x)-100*5^(3x)`

`4*2^(3x)=25*5^(3x)` /:25 ; /:`2^(3x)`

`4/25=(5/2)^(3x)`

`(5/2)^(-2)=(5/2)^(3x)`

`3x=-2`

`color(red)(x=-2/3)`

12, e,

`2^(2x+4)=7*4^x+7*3^x+3^(x+2)`

`4^(x+2)=7*4^x+7*3^x+9*3^x`

`16*4^x=7*4^x+16*3^x` /-`7*4^x`

`9*4^x=16*3^x` /:9 ; :`3^x`

`(4/3)^x=16/9`

`(4/3)^x=(4/3)^2`

`color(red)(x=2)`

f,

`3^(2x+3)-5*2^(4x)=11*9^x+4^(2x+1)`

`27*3^(2x)-5*4^(2x)=11*3^(2x)+4*4^(2x)`

egy oldalra rendezzük az azonos alapú tagokat.

`(27-11)*3^(2x)=(4+5)*4^(2x)`

`4^2*3^(2x)=3^2*4^(2x)` /:`4^2` ; :`4^(2x)`

`(3/4)^(2x)=(3/4)^2`

2x = 2

`color(red)(x=1)`

13, a,

`2^(x+3)+2^(x+1)=10`

`8*2^x+2*2^x=10`

`10*2^x=10` /:10

`2^x=1`

`color(red)(x=0)`

b,

`5^(x+4)-5^(x+2)=24`

`5^4*5^x-5^2*5^x=24`

`625*5^x-25*5^x=24`

`(625-25)*5^x=24`

`600*5^x=24` /:600

`5^x=24/600` = `1/25` = `5^(-2)`

`color(red)(x=-2)`

14, c,

`2*3^(x-1)+3^(x+3)=83`

`2*1/3*3^x+3^3*3^x=83`

`(27 2/3)*3^x=83` /: `27 2/3`

`3^x=3`

`color(red)(x=1)`

d,

`3^x-3^(x-1)-7*3^(x-3)=33`

`3^x-1/3*3^x-7*1/27*3^x=33`

`(1-1/3-7/27)*3^x=33`

`11/27*3^x=33` /:`11/27`

`3^x=81=3^4`

`color(red)(x=4)`

15, e,

`3*2^(x+2)-5*2^x-3*2^(x-2)=50`

`3*4*2^x-5*2^x-3*1/4*2^x=50`

`(12-5-3/4)*2^x=50`

`25/4*2^x=50` /:`25/4`

`2^x=8=2^3`

`color(red)(x=3)`

f,

`10^(x+1)-4*10^x-3*10^(x-1)=570`

`10*10^x-4*10^x-3/10*10^x=570`

`(10-4-3/10)*10^x=570`

`57/10*10^x=570` /:`57/10`

`10^x=100=10^2`

`color(red)(x=2)`

16,g,

`5^x-2*5^(x-1)-4*5^(x-2)+3*5^(x-3)=58`

`5^x-2/5*5^x-4/25*5^x+3/125*5^x=58`

`(1-2/5-4/25+3/125)*5^x=58`

`(125-50-20+3)/125*5^x=58`

`58/125*5^x=58` /:`58/125`

`5^x=125=5^3`

`color(red)(x=3)`

17, h

`5*2^(x+1)-3*2^x-7*2^(x-1)+3*2^(x-3)-9*2^(x-2)=26`

`5*2*2^x-3*2^x-7/2*2^x+3/8*2^x-9/4*2^x=26`

`(10-3-7/2+3/8-9/4)*2^x=26`

`(80-24-28+3-18)/8*2^x=26`

`13/8*2^x=26` /:`13/8`

`2^x=16=2^4`

`color(red)(x=4)`

18, a

`4^x-3*2^x+2=0`

`(2^x)^2-3*2^x+2=0`

`2^x=a` helyettesítéssel:

`a^2-3a+2=0`

megoldóképlet vagy szorzattá alakítás

`(a-2)(a-1)=0`

szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla

`a_1=2` `rightarrow` `2^x=2` `rightarrow` `color(red)(x_1=1)`

`a_2=1` `rightarrow` `2^x=1` `rightarrow` `color(red)(x_1=0)`

b,

`9^x-12*3^x+27=0`

`(3x)^2-12*3^x+27=0`

`3^x=a` helyettesítés

`a^2-12a+27=0`

megoldóképlet vagy szorzattá alakítás

`(a-3)(a-9)=0`

`a_1=3` `rightarrow` `3^x=3` `rightarrow` `color(red)(x_1=1)`

`a_2=9` `rightarrow` `3^x=9` `rightarrow` `color(red)(x_2=2)`

c,

`25^x-30*5^x+125=0`

`(5^x)^2-30*5^x+125=0`

`5^x=a` helyettesítéssel

`a^2-30a+125=0`

megoldóképlet

`(a-5)(a-25)=0`

`a_1=5` `rightarrow` `5^x=5` `rightarrow` `color(red)(x_1=1)`

`a_2=25` `rightarrow` `5^x=25` `rightarrow` `color(red)(x_2=2)`

d,

`2*4^x-17*2^x+8=0`

`2*(2^x)^2-17*2^x+8=0`

`2^x=a` helyettesítéssel

`2a^2-17a+8=0`

`a_(1,2)=(17pmroot()(17^2-4*2*8))/(2*4)` = `(17pm15)/4`

`a_1` = 8 `rightarrow` `2^x=8` `rightarrow` `color(red)(x_1=3)`

`a_2` = `1/2` `rightarrow` `2^x=1/2` `rightarrow` `color(red)(x_2=-1)`

20, e

`9^(x+1)-28*3^x+3=0`

`9*(3^x)^2-28*3^x+3=0`

`3^x=a` helyettesítés

`9a^2-28a+3=0`

`a_(1,2)=(28 pm root()(28^2-4*9*3))/(2*9)` = `(28 pm 26)/18`

`a_1=3` `rightarrow` `3^x=3` `rightarrow` `color(red)(x_1=1)`

`a_2=1/9` `rightarrow` `3^x=1/9` `rightarrow` `color(red)(x_2=-2)`

f,

`16^(x+1)-65*4^x+4=0`

`16*(4^x)^2-65*4^x+4=0`

`4^x=a`

`16a^2-65a+4=0`

`a_(1,2)=(65 pm root()(65^2-4*16*4))/(2*16)` = `(65 pm 63)/32`

`a_1=4` `rightarrow` `4^x=4` `rightarrow` `color(red)(x_1=1)`

`a_2=1/16` `rightarrow` `4^x=1/16` `rightarrow` `color(red)(x_2=-2)`

21, g

`3*4^x-94*2^x-64=0`

`3*(2^x)^2-94*2^x-64=0`

`2^x=a`

`3a^2-94a-64=0`

`a_(1,2)=(94 pm root()(94^2+4*3*64))/(2*3)` = `(94 pm 98)/6`

`a_1=-2/3` `rightarrow` `2^x=-2/3` `rightarrow` nincs ilyen x.

`a_2=32` `rightarrow` `2^x=32` `rightarrow` `color(red)(x=5)`.

h,

`9^(x+1/2)+26*3^x-9=0`

`3^(2x+1)+26*3^x-9=0`

`3*(3^x)^2+26*3^x-9=0`

`3^x=a` helyettesítéssel

`3a^2+26a-9=0`

`a_(1,2)=(-26 pm root()(26^2+4*3*9))/(2*3)` = `(-26 pm 28)/6`

`a_1=-9` `rightarrow` `3^x=-9` `rightarrow` nincs ilyen x.

`a_2=1/3` `rightarrow` `3^x=1/3` `rightarrow` `color(red)(x=-1)`.

22 i,

`10^x+200/10^x=30` /*`10^x`

`(10^x)^2+200=30*10^x`

`(10^x)^2-30*10^x+200=0`

`10^x=a` helyettesítéssel

`a^2-30a+200=0`

`a_(1,2)=(30 pm root()(30^2-4*200))/2` = `(30 pm 10)/2`

`a_1=20` `rightarrow` `10^x=20` `rightarrow` `color(red)(x_1=lg20)` (ha már volt szó a logaritmusról)

`a_2=10` `rightarrow` `10^x=10` `rightarrow` `color(red)(x_2=1)`

j,

`0.2^x=24/5+5^x`

`5^(-x)=24/5+5^x` /`*5*5^x`

`5=24*5^x+5*(5^x)^2`

`5^x=a`

`5a^2+24a-5=0`

`a_(1,2)=(-24 pm root()(24^2+4*5*5))/(2*5)` = `(-24 pm 26)/10`

`a_1=-5` `rightarrow` `5^x=-5` `rightarrow` nincs ilyen x.

`a_2=1/5` `rightarrow` `5^x=1/5` `rightarrow` `color(red)(x=-1)`

23 k

`10^x+10^(-x)=2`

`10^x=a`

`a+1/a=2` /`*a`

`a^2-2a+1=0`

`(a-1)^2=0`

a=1 `rightarrow` `10^x=1` `rightarrow` `color(red)(x=0)`

l,

`9^(x+1/2)+9*3^(x-1)=4/3`

`3^(2x+1)+9/3*3^x=4/3`

`3*(3^x)^2+3*3^x=4/3`

`3^x=a`

`3a^2+3a-4/3=0`

`a_(1,2)=(-3 pm root()(3^2+4*3*4/3))/(2*3)` = `(-3 pm 5)/6`

`a_1=-4/3` `rightarrow` `3^x=-4/3` `rightarrow` nincs ilyen x

`a_2=1/3` `rightarrow` `3^x=1/3` `rightarrow` `color(red)(x=-1)`

24 a

I. `2^x+3^y=7`

II. `5*2^x-3*3^y=11`

`2^x=a` és `3^y=b` helyettesítéssel

I. `a+b=7`

II. `5a-3b=11`

Mint az egyenletrendszert, megoldod.

elsőt szorzod hárommal, majd összeadod a két egyenletet.

I. 3a+3b=21

II. 5a-3b=11

I. + II.:

`8a=32`

`a=4` `rightarrow` `2^x=4` `rightarrow` `color(red)(x=2)`

`b=7-a` = `7-4=3` `rightarrow` `3^y=3` `rightarrow` `color(red)(y=3)`

b,

`7^x+5*2^y=41`

`5*7^x+3*2^y=29`

`7^x=a` és `5^y=b` helyettesítéssel

I. `a+5b=41`

II. `5a+3b=29`

I*5: `5a+25b=205`

I. - II.:

`22b=176`

`b=8` `rightarrow` `2^y=8` `rightarrow` `color(red)(y=3)`

`a=41-5*8` = 1 `rightarrow` `7^x=1` `rightarrow` `color(red)(x=0)`

25 c,

`3*4^x+4*3^y=42`

`11*4^x-3^y=13`

`4^x=a` és `3^y=b` helyettesítéssel

I. `3a+4b=42`

II. `11a-b=13`

II.*4: `44a-4b=52`

I. + II.: `47a=94`

`a=2` `rightarrow` `4^x=2` `rightarrow` `color(red)(x=1/2)`

`b=11*2-13=9` `rightarrow` `3^y=9` `rightarrow` `color(red)(y=2)`

d,

`2^(x+2)+3^(y-1)=17`

`3*2^x+4*3^y=24`

`2^x=a` és `3^y=b` helyettesítéssel

I. `4a+1/3*b=17` /*12

II. `3a+4b=24`

I. `48a+4b=204`

I. - II.:

`45a=180`

`a=4` `rightarrow` `2^x=4` `rightarrow` `color(red)(x=2)`

`b=(24-3*4)/4` = 3 `rightarrow` `3^y=3` `rightarrow` `color(red)(y=1)`.

A tévesztés kockázatával.