Ha nem haragszol nem fogom egyenként levezetgetni az összeset. Az elsőt levezetem részletesen az alapján ugyan úgy megfogod tudni oldani a többit is.

`x^2+3x-10lt0`

`x^2+3x-10=0`

`x_(1,2) = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)=(-3+-sqrt(3^2-4*1*(-10)))/(2*1)={(x_1=-5) , (x_2 =2):}`

Lehetésges esetek:

`xlt-5`

`-5ltxlt2`

`xgt2`

Minden intervallumra válaszunk egy értéket amivel megtudjuk vizsgálni melyik eset lehetséges megoldás. Célszerű a közvetlenül előtte vagy utána lévő számot választani.

`x_1=-6`

`x_2=-4`

`x_3=3`

Majd végignézzük esetenként melyik x lehetséges megoldás az egyenlőtlenségre.

`(-6)^2+3*(-6)-10lt0`

`8lt0` Tehát nem megoldás!



`(-4)^2+3*(-4)-10lt0`

`-6lt0` Tehát megoldás!



`3^2+3*3-10lt0`

`8lt0` Tehát nem megoldást!


Megoldás: `color(red)(-5ltxlt2)`

Bevállalok én is egyet

`(x+1)/(x-5) gt (x-2)/(x+3)`

Felt: `x ne 5` ; `x ne -3`

Egy oldalra rendezünk:

`(x+1)/(x-5)-(x-2)/(x+3) gt 0`

közös nevező,

`((x+1)*(x+3)-(x-2)*(x-5))/((x-5)(x+3)) gt 0`

zárójelbontás (a számlálóban)

`(cancel(x^2)+4x+3-cancel(x^2)+7x-10)/((x-5)(x+3)) gt 0`

összevonás

`(11x-7)/((x-5)(x+3)) gt 0`

Na most kell vizsgálni, hol váltanak előjelet a tagok.

három eset van, így négy részre oszlik a számhalmaz:

I. A számláló `7/11`-nél vált előjelet.

II. A nevező -3-nál és +5-nél.

A tört akkor lesz pozitív, ha:

I. A számláló és a nevező is pozitív.

Tehát ha x értéke -3-nál kisebb, akkor ugyan a nevező pozitív lesz, de a számláló negatív, nem jó nekünk.

Ha x értéke 5-nél nagyobb, akkor a számláló és a nevező is pozitív, ez jó lesz; `x gt 5`

II. A számláló és a nevező is negatív, az a nevezőt tekintve -3 és 5 közötti érték; a számláló pedig, ha kisebb mint `7/11`.

Így tehát -3 és `7/11` közötti értékek is szóba jöhetnek.

Megoldás:

`x in RR` ; `x in ]-3;7/11[ cup ]-5;oo[`.

Na még egy egyszerűt:

`b^2+1 lt 0`

Mivel `b^2` sosem negatív, ehhez egyet adva mindig pozitív számot kapunk, ezért ennek az egyenletnek sajnos nincs megoldása a valós számok halmazán.

c,

`x^2+2x-3 ge 0`

szorzattá alakítjuk:

`(x-1)(x+3) ge 0`

szorzat akkor nemnegatív, ha

I. mindkét tag nemnegatív:

`x ge 1 cup x ge -3` `rightarrow` `x ge 1`

II. mindkét tag nem pozitív:

`x le 1 cup x le -3` `rightarrow` `x le -3`

Megoldás:

`x in RR` ; `x in ]-oo;-3] cup [1;oo[`.