Question

Törölt kérdése

310 2 éve

Határozzuk meg az

$e_n=(1-2/(3n))^(2n-1)$ sorozat határértékét

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.

0

Felsőoktatás / Matematika

2

kazah válasza

2 éve

Remélem a

$lim_(n rightarrow oo)(1+1/n)^n = e$ -t nem kell levezetnem.

$lim_(n rightarrow oo) (1-2/(3n))^(2n-1)$ =

$(1+(-2/3)/n)^(2n-1)$ =

$((1+(-2/3)/n)^n)^2*(1-2/(3n))^(-1)$ =

$(e^(-2/3))^2*1$ =

$1/(e^(4/3))$

0

**bazsa990608** { Közgazdász } megoldása · Accepted Answer · 2022-12-29 17:38:06

$e_n=(1-2n/(3n))^(2n-1)=lim_(n->oo)(1-2/(3n))^(2n-1)=lim_(n->oo)[(1-1/((3n)/2))^((3n)/2)]^(2/(3n)(2n-1)$

Mivel:

$lim_(n->oo)(1-1/((3n)/2))^((3n)/2)=(1+(-1)/((3n)/2))^((3n)/2)=e^-1=1/e$ ezért csak a kitevő határértékét kell megvizsgálni.

$lim_(n->oo)2/(3n)*(2n-1)=lim_(n->oo)(4n-2)/(3n)=lim_(n->oo)(4-2/n)/3=4/3$ így

$lim_(n->oo)(1-2/(3n))^(2n-1)=(1/e)^(4/3)=1/(e^(4/3))=color(red)(1/root(3)(e^4))$