Logaritmus,sürgős!

2/q)
Először használjuk ki a hatványozásnak azt az azonosságát, hogy `a^(x+y)=a^x*a^y`, majd pedig a logaritmus definícióját: `a^(log_a x)=x`. Tehát:

`2^(log_2 3+2)=2^(log_2 3)*2^2=3*4=12`

2/r)
`25^(log_5 3-log_4 4)=25^(log_5 3-1)=25^(log_5 3)*25^-1=(5^2)^(log_5 3)*25^-1=5^(2*log_5 3)*25^-1=5^(log_5 3^2)*25^-1=3^2*25^-1=9/25`

2/s)
`3^(log_9 10)=(9^(1/2))^(log_9 10)=9^((1/2*log_9 10))=9^(log_9 10^(1/2))=10^(1/2)=sqrt(10)`

2/t)
`log_a(((a^(5/2)*a^(-3/4))^-2)/((a^(-3/2)*a^3)^(1/4)))``=``log_a((a^(-2*(5/2-3/4)))/(a^(1/4*(-3/2+3))))``=``log_a((a^(-7/2))/(a^(3/8)))``=``log_a(a^(-7/2-3/8))``=``log_a(a^(-31/8))``=``-31/8`
----------------------------------------

II)
Itt ugyebár a megfelelő kikötéseket kell megtenni. Ehhez három dolgot kell tudni:

1. Csak pozitív számoknak vehetjük a logaritmusát. Tehát az a) feladatban azt kell biztosítanunk, hogy `x+5 > 0`, a b) feladatban pedig hogy `6x-x^2-8 > 0`, és így tovább. Az a), b) és e) feladatokhoz más kikötést nem is kell tennünk

2. A logaritmus alapja is csak pozitív lehet, de nem lehet 1. Ez a c) és d) feladatoknál fontos.

3. Ha egyéb (nem a logaritmus miatti) kikötésünk van, természetesen meg kell tennünk azt is. Most egyedül a c) esetben kell biztosítanunk, hogy a tört nevezője ne legyen nulla.


Nézzük részletesen a c) feladatot: `log_x ((x-5)/(x-3))`

1. az argumentum pozitív: `(x-5)/(x-3) > 0`. Ez akkor teljesül, ha `x > 5` vagy `x < 3`.

2. az alap pozitív, de nem egy: `x>0` és `x!=1`

3. nullával nem osztunk: `x!=3`

A kifejezés értelmezési tartományát többféleképpen felírhatjuk. Például három nyílt intervallum uniójaként: ]0;1[ U ]1;3[ U ]5;∞[
De például úgy is felírhattuk volna, hogy a pozitív valós számok halmazából kivonjuk az 1-et, illetve a [3;5] zárt intervallumot.

----------------------------------------

IV)
Ezek mind egy kaptafára mennek. Amit tudni kell:
1. A logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó azonosságokat.
2. Konstans szám felírását logaritmus alakjában (`x=log_a a^x`).
3. Azt, hogy a logaritmusfüggvény kölcsönös egyértelműsége miatt ha két szám logaritmusa egyenlő, akkor maguk a számok is egyenlők.

Nézzük részletesen a 4. feladatot: `log_3(2x+1)+log_3(3x+2)=log_3(4x+1)+1`

Kikötés: `2x+1 > 0` és `3x+2 > 0` és `4x+1 > 0`. Ez mind teljesül, ha `x > -1/4`.

Vonjuk össze a bal oldalon álló logaritmusokat:
`log_3[(2x+1)(3x+2)]=log_3(4x+1)+1`
`log_3(6x^2+7x+2)=log_3(4x+1)+1`

A jobb oldalon álló konstanst írjuk fel logaritmusként, majd vonjuk is össze a logaritmusokat:
`log_3(6x^2+7x+2)=log_3(4x+1)+log_3 3`
`log_3(6x^2+7x+2)=log_3[(4x+1)*3]`
`log_3(6x^2+7x+2)=log_3(12x+3)`

Most pedig használjuk ki a kölcsönös egyértelműséget:
`6x^2+7x+2=12x+3`
`6x^2-5x-1=0`

Másodfokú egyenletet kaptunk, melynek megoldásai `x=1` és `x=-1/6`. Mindkettő megfelel a kikötésnek, tehát valóban megoldások.