Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek!

82
Ebben a feladatban szeretnék segítséget kérni
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Elöljáróban azt kell tudni, hogy a derékszögű háromszög köré írható körének a középpontja az átfogó felezőpontjában van.

24-es feladat:
Legyen a háromszög három csúcsa A, B, C. A derékszögű csúcs a C pontban van. Legyen AC=20 mm, BC=21 mm. Legyen a C pontból húzott magasság AB oldalon való talppontja T pont.
Az átfogóhoz húzott magasság (CT) merőleges az átfogóra (AB-re), tehát a magasság talppontja az eredeti derékszögű háromszöget két kisebb derékszögű háromszögre bontja (ACT és BCT háromszögekre).
A két kisebbik derékszögű háromszögben az eredeti derékszögű háromszög befogói lesznek az átfogók (AC és BC).
Ennek megfelelően a az eredeti háromszög befogóinak felezőpontjától a magasság talppontja az ACT háromszögben 10 mm és a BCT háromszögben pedig 10,5 mm lesz.

26. feladat:
Mivel a háromszög derékszögű, hiszen Pitagorasz-tétel megfordítása igaz:
152 + 202 = 252
225 + 400 = 625
Ebből következik, hogy az átfogó a 25 cm-es oldal, tehát a háromszög köré írható körének középpontja e oldal felezőpontjában van, azaz a sugár: R = 12,5 cm.

25. feladat:
Ábra nélkül nehéz elképzelni a feladatot, de azt érdemes tudni, hogy a körhöz egy külső P pontból húzott
- érintőszakaszok hossza egyenlő;
- érintők az érintési pontba húzott sugárra merőlegesek.

Legyen a kör középpontja O pont, a két érintési pont, melyet a külső P pontból húzunk a körhöz, E és F pontok. Ekkor OEPF négyszög deltoid, hiszen PE = PF és OE = OF = r =2,4 cm. Ennek a deltoidnak OP a szimmetriatengelye, azaz a P csúcsánál lévő szöget OP átló felezi. Tehát az OPE háromszög P csúcsánál lévő szöge 60o. Ez azt jelenti, hogy OPE háromszög egy fél szabályos háromszög, melyet ha tükröznénk az OE oldalára egy szabályos háromszöget kapnánk, hiszen E csúcsnál 90o-os, O csúcsnál 30o-os szög van.
Mindez azt jelenti, hogy OE = 2,4 cm a tükrözéssel kapott szabályos háromszög egy magassága, OP pedig a szabályos háromszög oldala lenne. Az előbbiek alapján PE szakasz a tükrözéssel kapott szabályos háromszög oldalának a fele, azaz PE = OP/2.
Felírva Pitagorasz tételét OPE háromszögre, hiszen E csúcsánál derékszög van, kapjuk:
OE2 + PE2 = OP2, behelyettesítva, hogy PE = OP/2:
OE2 + (OP/2)2 = OP2
OE2 = OP2 - (OP/2)2
OE2 = OP2 - OP2/4 = 3/4 * OP2
OP2 = 4/3 * OE2
OP = 2/ 3  * OE = 2/ 3  * 2,4 =2,77 cm

Megjegyzés ezt az OEP derékszögű háromszögből sinus segítségével is kiszámíthattuk volna, mert hogy
sin 60o = OE / OP, melyből OP = OE / sin 60o, amely ugyanezt az eredményt adja.
0