Algebra dolgozat

1) Szorzásnál az azonos alapú hatványok kitevőit össze kell adni.
a) `a^5`
Osztásnál az azonos alapú hatványok kitevőit ki kell vonni.
b) `a^20`
Hatvány hatványozásakor a két kitevőt összeszorozzuk.
c) `a^10`

2)
a) Zárójel felbontásnál minden tagot minden taggal beszorzunk.

`(6y^2+12y-5y-10)-(6y^2-3y)=6y^2+12y-5y-10-6y^2+3y`

A `6y^2` kiesik, az y-okat és a számokat összevonjuk.
`color(red)(10y-10)` lesz a megoldás.

b) Nevezetes azonosság. `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

`(a+7)^2=color(red)(a^2+14a+49)`

c) Szintén nevezetes azonosság. `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

`(x-5)^2=color(red)(x^2-10x+25)`

d) `(3x-4y)^2=(3x)^2-2*3x*4y+(4y)^2=color(red)(9x^2-24xy+16y^2)`

e) Nevezetes azonosság. `(a+b)(a-b)=a^2-b^2`
`(8y-5)(8y+5)=(8y)^2-5^2=color(red)(64y^2-25)`


3)
a) Emeljünk ki `6x^2y^2`-t!
`6x^2y^2(x^3-3y)`

b) Ez egy nevezetes azonosság, amit alakítsunk vissza négyzetre emelt összegre.
`(a+4)^2=a^2+8a+16`

c) Ez is egy nevezetes azonosság, amit alakítsunk vissza négyzetre emelt különbségre.
`(x-7y)^2=x^2-14xy+49y^2`

d) Ez is egy nevezetes azonosság, amit alakítsunk vissza négyzetre emelt különbségre.
`(2k-5m)^2=4k^2-20km+25m^2`

e) Harmadik nevezetes azonosság visszaalakításával oldjuk meg.
`(3t+2)(3t-2)=9t^2-4`

f) Csoportosítással emeljünk ki!

`ax+bx-4a-4b=ax-4a+bx-4b=a(x-4)+b(x-4)=color(red)((x-4)(a+b))`


4)
a) É.T.: `21b^4a^8!=0` Ebből jön, hogy `a;b!=0`.
`(6a^4b^7)/(21b^4a^8)`
Osszunk 3-mal, `a^4`-nel és `b^4`-nel.
`color(red)((2b^3)/(7a^4))` lesz belőle, ha a hatványozás azonosságait felhasználjuk.

b) É.T.: `x^2-6x+9!=0`
Ezt alakítsuk át két kifejezés összegének négyzetévé (2. nevezetes azonosság).
`(x-3)^2!=0`
Egy kifejezés négyzete csak akkor nulla, ha a kifejezés maga is nulla. Tehát:
`x-3!=0`
`x!=3`

A továbbiakban vegyük figyelembe, hogy az É.T. megadásakor már átalakítottam a nevezőt. Továbbá a nevezőből emeljünk ki 3-at. Így abból `3(x-3)` lesz.

`3(x-3)/((x-3)^2`
Osszunk `(x-3)`-mal!
`color(red)(3/(x-3))` marad eredménynek.


5) É.T.:
`color(blue)(É.T. 1.) a^2+8a+16!=0` Nevezetes azonosság megint.
`(a+4)^2!=0`
Az előbbiekben kifejtett ok miatt:
`a+4!=0`
`a!=-4`

`color(blue)(É.T.2.) a^2-16!=0` Nevezetes azonosság.
`(a+4)(a-4)!=0`
Egy szorzat akkor nulla, ha az egyik tényezője nulla. Vagyis:
a. `a+4!=0 rarr a!=-4`
b. `a-4!=0 rarr a!=4`

Az összes rész É.T. metszete: `a!in{-4;4}`
A továbbiakban vegyük figyelembe az ÉT. meghatározása során történt átalakításokat.

Először emeljünk ki az 1. tört számlálójában 3-at, a 2. törtében 6-ot.

`(3(a+4))/(a+4)^2:(6(a-4))/((a+4)(a-4))`

Törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk.

`(3(a+4))/(a+4)^2*((a+4)(a-4))/(6(a-4))`

Az 1. törtben egyszerűsítsünk `a+4`-gyel, a 2.-ban `a-4`-gyel.

`3/(a+4)*(a+4)/6=(3(a+4))/(6(a+4))`

Egyszerűsítsünk 3-mal és `a+4`-gyel. Marad tehát:
`color(red)(1/2)`.

7) É.T.:
`color(blue)(É.T.1.)` `x^2-8x16!=0` Nevezetes azonosság.
`(x-4)^2!=0` Előbbiekben kifejtettek miatt:
`x-4!=0 rarr x!=4`.

`color(blue)(É.T.2.)` `4x-16!=0` Oldjuk meg kiemeléssel. Emeljünk ki 4-et.
`4(x-4)!=0`
Egy szorzat akkor nulla, ha az egyik tényezője 0.
`x-4!=0`
`x!=4`.
A 2 értelmezési tartományból ugyanaz jön, `x!=4`.
A továbbiakban vegyük figyelembe az ÉT. meghatározása során történt átalakításokat.

`(5-x)/(x-4)^2-3/(4(x-4))`

Közös nevező: `4(x-4)^2`. Közös nevezőre hozunk:

`(4*(5-x)-3(x-4))/(4(x-4)^2)` Bontsunk zárójeleket és vonjunk össze.

Az eredmény:
`color(red)((32-7x)/(4(x-4)^2)`

Egyébként ajánlom a Photomath nevű appot, le is vezeti a megoldást.

`color(red)("//")`Ha segített a válaszom, kérlek, jelöld megoldásnak! Sokat dolgoztam vele, így örülnék, ha lenne ennyi kis
"jutalmam" érte. Köszönöm!