Ez egy nagyon nevezetes integrál, mivel ugyebár a normális eloszlás sűrűségfüggvényében szerepel. Ennek megfelelően nagyon sokféleképpen ki lehet számítani. Talán a legegyszerűbb polárkoordinátákkal.

Vizsgáljuk az integrál helyett a négyzetét. Határozott integrálról lévén szó, mindegy, hogy minek nevezem az az integrálási változót, úgyhogy nyugodtan hívhatom az egyik integrálban `x`-nek, a másikban `y`-nak. Viszont ez lehetővé teszi, hogy az integrálok szorzatát összevonjam egyetlen kettős integrállá:
`(int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx)^2``=``(int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx)(int_(-oo)^(oo) e^(-y^2) dy)``=``int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) e^(-y^2) dxdy``=``int_(-oo)^(oo)int_(-oo)^(oo) e^(-(x^2+y^2))dxdy`

Ebben a lépésben térjünk át polárkoordinátákra:
`x=r cos phi`
`y=r sin phi`
`x^2+y^2=r^2 cos^2 phi+r^2 sin^2 phi=r^2(cos^2 phi+sin^2 phi)=r^2`
`dxdy=rdrd phi`

Tehát az integrál:
`int_(-oo)^(oo)int_(-oo)^(oo) e^(-(x^2+y^2))dxdy``=``int_0^(2pi) int_0^(oo) e^(-r^2)r drd phi``=``int_0^(2pi) dphi int_0^(oo) e^(-r^2)r dr``=``2pi int_0^(oo) e^(-r^2)r dr`

Innen megint többféleképpen lehet továbbmenni. Most alkalmazzunk helyettesítéses integrálást! Legyen `t=-r^2`, ebből pedig `dt=-2rdr`. Tehát:
`2pi int_0^(oo) e^(-r^2)r dr=2pi int_(-oo)^0 1/2 e^t dt=pi*[e^t]_(-oo)^0=pi*(1-0)=pi`

Vagyis az integrál négyzete `pi`, tehát `int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx=sqrt pi`. (A függvény pozitív jellege miatt `- sqrt pi`-t triviálisan kizárhatjuk.)