Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek, LKKT

52
Határozzuk meg a 7260 és a 7722 legkisebb közös többszörösét, majd végezzük el a =7/7260 - 5/7722 műveletet!
Két háromjegyű természetes szám legnagyobb közös osztója 14, a legkisebb közös többszöröse 2940. Melyik ez a két szám?
Melyek azok az a,b,c természetes számok, amelyekre teljesül, hogy [a,b,c] = 60840, 104b = 9a és 13c = 2b?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
1.

A prímtényezős felbontással kezdek:

`7260=2^2*3*5*11^2`

`7722=2*3^3*11*13`

Legkisebb közös többszörös:

`[7260; 7722]=2^2*3^3*5*11^2*13=849420`

Legnagyobb közös osztó:

`(7260; 7722)=2*3*11=66`


`7/(7260)-5/(7722)`

`7/(2^2*3*5*11^2)-5/(2*3^3*11*13)`

`((7*3^2*13)-(5*2*5*11))/(849420)=(269)/(849420)`


`2.`

`(a; b)=14=2*7`

`[a; b]=2940=2^2*3*5*7^2`

`a=2*3*7=42`

`b=2^2*5*7^2=980`

Ez most csak egy megoldás volt.

`3.`

`[a; b; c]=60840=2^3*5*3^2*13^2`

`104b=9a`

`13c=2b`


`b=(13c)/2`

`(104(13c)/2)=9a`

`a=(104(13c)/2)/9=(676c)/9`



`c`

`13/2*c`

`(676)/9*c=(2^2*13^2)/(3^2)*c`

És itt most elakadtam... Még fogok gondolkodni rajta, de inkább írj valaki másnak, hátha ő meg tudja oldani.
0

Megjegyzés RationalRick 2. feladat megoldásához.

Azt tudjuk, hogy `(a; b)=2*7` illetve `[a; b]=2^2*3*5*7^2`.
Továbbá tudjuk, hogy az egyik megoldás `a=2*3*7=42` illetve `b=2^2*5*7^2=980` alakú.
Továbbá nem elfelejtve azt, hogy a legkisebb közös többszöröst az összes prímtényező szorzata adja a legnagyobb kitevővel, valamint a legnagyobb közös osztót a közös prímtényezők szorzata adja a legkisebb kitevővel. Továbbá tudjuk azt is, hogy `a, b in NN` esetén `a*b=[a; b]*(a;b)`. Eltekinthetünk attól is, ha találunk egy `(a^×, b^×)` megoldáspárt, akkor `(b^×, a^×)` is egy megoldáspár a szorzat felcserélési tulajdonsága miatt. Tehát `a=980` és `b=42` is egy megoldás.
Kérdés most az, hogy miként jutunk el a többi megoldáshoz? A megoldásokat döntően a `2`-es és a `7`-es prímek határozzák meg. Attól függően, hogy hová kerülnek az `1`-es illetve `2`-es kitevőjű tényezők. Megmaradva RationalRick elképzelésénél a megoldásokat először `a=2*u*7` illetve `b=2^2*v*7^2` alakban keressük, ahol `u, v in NN`. A definíciókat és a leírt összefüggéseket felhasználva adódik, hogy `u*v=3*5=15`. Ebből azonnal kimazsolázható, hogy a már leírt `u=3` megoldást szolgáltató paraméteren kívül `u=5`, `u=1` illetve `u=15` esetek is szóba kerülhetnek. Így a további megoldások `a=2*5*7=70` és `b=2^2*3*7^2=588`; `a=2*1*7=14` és `b=2^2*3*5*7^2=2940`; `a=2*3*5*7=210` és `b=2^2*7^2=196` és a felcserélési tulajdonság miatt a megfordításaik szolgáltatják.
A megoldásokat kereshetjük `a=2^2*u*7` illetve `b=2*v*7^2` alakban is. Nem nehéz rájönni, hogy ezekben az esetekben is négyféle (`u in {1,3,5,15}`) megoldáshoz jutunk:
`a=2^2*7=28` és `b=2*3*5*7^2=1470`; `a=2^2*3*7=84` és `b=2*5*7^2=490`; `a=2^2*5*7=140` és `b=2*3*7^2=294`; `a=2^2*3*5*7=420` és `b=2*7^2=98` és megfordításaik. És ezzel az összes megoldásvariáció leírásának a végére érkeztünk.
Módosítva: 1 hete
0

Megjegyzés RationalRick 3. feladat megoldásához.

Tulajdonképpen csak a megoldás közepéig jutott el, de amit leírt azt helyesen következtette ki.
Eljutott odáig, hogy `b=frac{13*c}{2}` és `a=frac{2^2*13^2*c}{3^2}`.
Ebből azonnal adódik, hogy c osztható `2`-vel és `9`-el is. Vagyis létezik olyan `u in NN` természetes szám, hogy `c=2*9*u`. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy `a=2^3*13^2*u` és `b=3^2*13*u`. A három szám legkisebb közös többszöröse: `[a; b; c]=2^3*5*3^2*13^2`.
Három szám esetén is érvényes az az elv, miszerint az összes prímtényezőt elő kell venni a legnagyobb kitevővel. `2^3*13^2` felfedezhető `a`-nál, `3^2` megtalálható `b`-nél és `c`-nél is. Hiányzik a legkisebb közös többszörös második prímje az `5`. Feltételezhető, hogy az egyik megoldás `u=5` esetére adódik. Tehát `c=5*2*3^2=80`; `b=5*3^2*13=585` valamint `a=2^3*5*13^2=6760`. És ez az egyetlen megoldás. Tegyük fel indirekt módon, hogy u osztható `5`-ön kívül valamilyen más prímmel is és ekkor ellentmondásba futunk. Vagy azért mert nem teljesíti a 2. feltételként leírt egyenleteket vagy azért, mert a legkisebb közös többszörös más prímet is tartalmaz.
Módosítva: 1 hete
0