Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Matek, LKKT

164
Határozzuk meg a 7260 és a 7722 legkisebb közös többszörösét, majd végezzük el a =7/7260 - 5/7722 műveletet!
Két háromjegyű természetes szám legnagyobb közös osztója 14, a legkisebb közös többszöröse 2940. Melyik ez a két szám?
Melyek azok az a,b,c természetes számok, amelyekre teljesül, hogy [a,b,c] = 60840, 104b = 9a és 13c = 2b?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
1.

A prímtényezős felbontással kezdek:

`7260=2^2*3*5*11^2`

`7722=2*3^3*11*13`

Legkisebb közös többszörös:

`[7260; 7722]=2^2*3^3*5*11^2*13=849420`

Legnagyobb közös osztó:

`(7260; 7722)=2*3*11=66`


`7/(7260)-5/(7722)`

`7/(2^2*3*5*11^2)-5/(2*3^3*11*13)`

`((7*3^2*13)-(5*2*5*11))/(849420)=(269)/(849420)`


`2.`

`(a; b)=14=2*7`

`[a; b]=2940=2^2*3*5*7^2`

`a=2*3*7=42`

`b=2^2*5*7^2=980`

Ez most csak egy megoldás volt.

`3.`

`[a; b; c]=60840=2^3*5*3^2*13^2`

`104b=9a`

`13c=2b`


`b=(13c)/2`

`(104(13c)/2)=9a`

`a=(104(13c)/2)/9=(676c)/9`



`c`

`13/2*c`

`(676)/9*c=(2^2*13^2)/(3^2)*c`

És itt most elakadtam... Még fogok gondolkodni rajta, de inkább írj valaki másnak, hátha ő meg tudja oldani.
0

Megjegyzés RationalRick 2. feladat megoldásához.

Azt tudjuk, hogy `(a; b)=2*7` illetve `[a; b]=2^2*3*5*7^2`.
Továbbá tudjuk, hogy az egyik megoldás `a=2*3*7=42` illetve `b=2^2*5*7^2=980` alakú.
Továbbá nem elfelejtve azt, hogy a legkisebb közös többszöröst az összes prímtényező szorzata adja a legnagyobb kitevővel, valamint a legnagyobb közös osztót a közös prímtényezők szorzata adja a legkisebb kitevővel. Továbbá tudjuk azt is, hogy `a, b in NN` esetén `a*b=[a; b]*(a;b)`. Eltekinthetünk attól is, ha találunk egy `(a^×, b^×)` megoldáspárt, akkor `(b^×, a^×)` is egy megoldáspár a szorzat felcserélési tulajdonsága miatt. Tehát `a=980` és `b=42` is egy megoldás.
Kérdés most az, hogy miként jutunk el a többi megoldáshoz? A megoldásokat döntően a `2`-es és a `7`-es prímek határozzák meg. Attól függően, hogy hová kerülnek az `1`-es illetve `2`-es kitevőjű tényezők. Megmaradva RationalRick elképzelésénél a megoldásokat először `a=2*u*7` illetve `b=2^2*v*7^2` alakban keressük, ahol `u, v in NN`. A definíciókat és a leírt összefüggéseket felhasználva adódik, hogy `u*v=3*5=15`. Ebből azonnal kimazsolázható, hogy a már leírt `u=3` megoldást szolgáltató paraméteren kívül `u=5`, `u=1` illetve `u=15` esetek is szóba kerülhetnek. Így a további megoldások `a=2*5*7=70` és `b=2^2*3*7^2=588`; `a=2*1*7=14` és `b=2^2*3*5*7^2=2940`; `a=2*3*5*7=210` és `b=2^2*7^2=196` és a felcserélési tulajdonság miatt a megfordításaik szolgáltatják.
A megoldásokat kereshetjük `a=2^2*u*7` illetve `b=2*v*7^2` alakban is. Nem nehéz rájönni, hogy ezekben az esetekben is négyféle (`u in {1,3,5,15}`) megoldáshoz jutunk:
`a=2^2*7=28` és `b=2*3*5*7^2=1470`; `a=2^2*3*7=84` és `b=2*5*7^2=490`; `a=2^2*5*7=140` és `b=2*3*7^2=294`; `a=2^2*3*5*7=420` és `b=2*7^2=98` és megfordításaik. És ezzel az összes megoldásvariáció leírásának a végére érkeztünk.
Módosítva: 1 éve
0

Megjegyzés RationalRick 3. feladat megoldásához.

Tulajdonképpen csak a megoldás közepéig jutott el, de amit leírt azt helyesen következtette ki.
Eljutott odáig, hogy `b=frac{13*c}{2}` és `a=frac{2^2*13^2*c}{3^2}`.
Ebből azonnal adódik, hogy c osztható `2`-vel és `9`-el is. Vagyis létezik olyan `u in NN` természetes szám, hogy `c=2*9*u`. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy `a=2^3*13^2*u` és `b=3^2*13*u`. A három szám legkisebb közös többszöröse: `[a; b; c]=2^3*5*3^2*13^2`.
Három szám esetén is érvényes az az elv, miszerint az összes prímtényezőt elő kell venni a legnagyobb kitevővel. `2^3*13^2` felfedezhető `a`-nál, `3^2` megtalálható `b`-nél és `c`-nél is. Hiányzik a legkisebb közös többszörös második prímje az `5`. Feltételezhető, hogy az egyik megoldás `u=5` esetére adódik. Tehát `c=5*2*3^2=80`; `b=5*3^2*13=585` valamint `a=2^3*5*13^2=6760`. És ez az egyetlen megoldás. Tegyük fel indirekt módon, hogy u osztható `5`-ön kívül valamilyen más prímmel is és ekkor ellentmondásba futunk. Vagy azért mert nem teljesíti a 2. feltételként leírt egyenleteket vagy azért, mert a legkisebb közös többszörös más prímet is tartalmaz.
Módosítva: 1 éve
0