Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek, LKKT

40
Pozitív egész relatív számpár tagjainak legkisebb közös többszöröse 420. Melyik lehet a két szám?
Mely pozitív egész x-ekre teljesül, hogy [12;x]=924?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
1. Pozitív egész relatív számpár tagjainak legkisebb közös többszöröse 420. Melyik lehet a két szám?
relatív prím=olyan számpár, aminek az 1-en és −1-en kívül nincs más közös osztójuk
lekisebb közös többszörös = minden előforduló prímet összeszorzunk a legnagyobb hatványkitevőn
[x;y]=420 x;y∈Z+
420=2²×3×5×7
ha x=2²=4 akkor y=3×5×7=105
ha x=3 akkor y=2²×5×7=140
ha x=5 akkor y=2²×3×7=84
ha x=7 akkor y=2²×3×5=60
ha x=2²×3=12 akkor y=5×7=35
ha x=2²×5=20 akkor y=3×7=21
ha x=2²×7=28 akkor y=3×5=15
ha x=1 akkor y=2²×3×5×7=420

2. Mely pozitív egész x-ekre teljesül, hogy [12;x]=924?
924=2²×3×7×11
12=2²×3
x=7×11=77 vagy x=3×7×11=231 vagy x=2²×7×11=308 vagy x=924
0

Megjegyzés Kökény Adél 2. feladatának a megoldásához.

A legkisebb közös többszöröst a `2*77` és a `6*77` is szolgáltatja. Így összesen nem négy, hanem hat megoldása van a feladatnak. A kérdés ezek után az, hogy miként jöhetünk erre rá?
Adél megoldásának a harmadik sorában olvasható a definíció is.
Ezt kell felhasználni és egy kis csöppnyi logikát.
Az nyivánvaló, hogy a `12=2²×3` felbontás nem elég, kell még a `77=7×11` felbontás is.
Pontosabban a megoldást valamilyen `a×7×11` alakban keressük, ahol `a=2^k×3^l` alakú.
Tudjuk, hogy `924=2²×3×7×11`, használva a definíciót és a `2^k×3^l` alakot vizsgálva, rájöhetünk arra, hogy `k in {0, 1, 2}` illetve `l in {0, 1}`. Mivel `k` háromféle és `l` kétféle értéket vehet fel, adódik a feladat hat megoldása.
Módosítva: 1 hete
0

Megjegyzés Kökény Adél 1. feladatának a megoldásához. Mint ahogy a második feladat megoldása sem volt teljes, hasonlót elmondhatunk erre is. Adél a megoldásai során ügyelt arra, hogy a feladat első feltétele érvényben maradjon. Ez nyivánvalóan akkor sérült volna, ha például mindkét egész szám páros lett volna, mert legkisebb közös többszörös felbontásában a `2`-es prím `2`-es kitevőn szerepel. Pozitív egész relatív számpár azt jelenti, hogy a legnagyobb közös osztójuk 1. (Ezt a gyakorlatban úgy állapítjuk meg, hogy vesszük a prímtényezős felbontásokat és ezek közül kiválasztjuk a közös prímeket a legkisebb kitevővel. Ha nincs ilyen, akkor ezt definíció szerint egynek vesszük). Azt is figyelembe kell venni, hogy `a, b in NN` esetén `a*b=[a; b]*(a; b)`. A mi esetünkben `(a; b)=1` és az `a*b=420`-as értéket kell szorzattá alakítani az összes lehetséges módon. A tényezőket `{3, 4, 5, 7}` számhalmaz elemei határozzák meg. Adél jelölései mellet maradva az egyik tényező `x`, míg a másiké `y`. Megállapítható, hogy ha az egyik felbontásában egyetlen prím van, akkor a másikban három van. Vagy ha az egyik felbontásában két prím szerepel, akkor a másikban is. Tekintsünk el a fordított helyzettől, ami a szorzat felcserélési (kommutatív) tulajdonságából ered. Adél az egyik esetet teljesen leírta, de a második esete sajnos hiányos maradt. Írni kellett volna az `x=3*5=15` és `y=4*7=28`; `x=3*7=21` és `y=4*5=20` valamint `x=5*7=35` és y=`4*3=12` esetekről vagy a felcserélési tulajdonságról.
Módosítva: 1 hete
0