Háromszögek

Most per pillanat nincs rá időm, de ma délután/este meg fogom őket csinálni!

Feladatonként fogom küldeni, hogy ne legyen túl hosszú.

`1.`

`a=3x`
`b=5x`
`c=7x`

`3x=42`
`x=14`

`a)`

`b=5*14=70` `cm`

`c=7*14=98` `cm`

`b)`

`K=a+b+c`

`K=42+70+98=210` `cm`

`c)`

Ezt sok módon ki lehet számolni, én Héron-képlettel fogom, mert nekem az a kedvencem.

`T=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`s=K/2`

`s=(210)/2=105` `cm`

`T=sqrt(105(105-42)(105-70)(105-98))=735sqrt(3)~~1273.057` `cm^2`

`d)`

Minden oldal különböző.

`e)`

Koszinusztétel:

`c^2=a^2+b^2-2abcosgamma`
`a^2=c^2+b^2-2cbcosalpha`
`b^2=a^2+c^2-2ac*cosbeta`

Átrendezve:
`cosgamma=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)`

`cosalpha=(c^2+b^2-a^2)/(2cb)`

`cosbeta=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)`


`cosgamma=(42^2+70^2-98^2)/(2*42*70)=-1/2`

`gamma=cos^(-1)(-1/2)=120°`


`cosalpha=(70^2+98^2-42^2)/(2*70*98)=13/14`

`alpha=cos^(-1)(13/14)~~21.79°`


`cosbeta=(42^2+98^2-70^2)/(2*42*98)=11/14`

`beta=cos^(-1)(11/14)~~38.21°`

`2.`

`alpha=40°`

`beta=65°`

`a)`

Ugye a háromszögek belső szögeinek összege `180°`, tehát:

`gamma=180°-alpha-beta`

`gamma=180°-40°-65°=75°`

`b)`

A külső és a belső szögek összege `180°`, tehát:

`alpha'=180°-40°=140°`

`beta'=180°-65°=115°`

`gamma=180°-75°=105°`

`c)`

Hegyesszögű.

`3.`

Ezt a Pitagorasz-tétel segítségével lehet eldönteni. Ha az átfogó hosszának négyzete megegyezik a befogók hosszainak négyzeteinek az összegével, akkor derékszögű, ha nem, akkor nem.

`c^2=a^2+b^2`

`c=sqrt(a^2+b^2)`


`a)`

`sqrt(27^2+36^2)=45`

A `c` oldal nem `45` centi, tehát ez nem derékszögű.

`b)`

`sqrt(36^2+77^2)=85`

Ez már akkor derékszögű.

`c)`

`sqrt(54^2+72^2)=90`

Ez derékszögű.

`d)`

`sqrt(130^2+144^2)=194`

Ez derészögű.

`e)`

`sqrt(75^2+90^2)~~117.15`

Ez akkor nem derékszögű.

`4.`

`a=48` `cm`

`b=64` `cm`


`a)`

Ezt az előző válaszomban már kifejtettem:

`c=sqrt(48^2+64^2)=80` `cm`

`b)`

`K=48+64+80=188` `cm`

1 deciméter 10 centiméter, tehát ez:

`188:10=18.8` `dm`

`c)`

Ez derékszögű háromszög, ezért ide nem kell Hérón-képlet, mert az egyik befogó pont a másik magassága:

`T=(a+b)/2`

`T=(48+64)/2=56` `cm^2`

`d)`

Mivel derékszögű, ezért `gamma=90°`, természetesen.

És a derékszögű háromszögekre vannak jó kis szögfüggvényes összefüggések, például:

`sinalpha=a/c`

`sinalpha=48/80`

`alpha=sin^(-1)(48/80)~~36.87°`


`sinbeta=b/c`

`sinbeta=64/80`

`beta=sin^(-1)(64/80)~~53.13°`

`b=80` `cm`

`c=82` `cm`

`a)`

`c^2=a^2+b^2`

`a=sqrt(c^2-b^2)`


`a=sqrt(82^2-80^2)=18` `cm`

`b)`

`K=18+80+82=180` `cm`

És mivel 1 centiméter, az 10 milliméter, ezért ez `1800` `mm`

`c)`

`T=(18+80)/2=49` `cm^2`

`60. `

`a=24` `cm`

`b=45` `cm`

`a)`

Az átlót úgy kell elképzelni, mint egy derékszögű háromszög átfogóját, azaz:

`d=sqrt(24^2+45^2)=51` `cm`

`b)`

Két átlója van:

`51+51=102` `cm`

`c)`

`51-51=0` `cm`, hiszen egyenlőek

`d)`

`51*51=2601`

`e)`

`51:51=1`

`7.`

`a=12` `cm`

`c=13` `cm`

`a)`

`b=sqrt(13^2-12^2)=5` `cm`

`b)`

Kiszámolom a szögeket először:

`gamma=90°`


`sinalpha=a/c`

`sinalpha=12/13`

`alpha=sin^(-1)(12/13)~~67.38°`


`sinbeta=b/c`

`sinbeta=5/13`

`beta=sin^(-1)(5/13)~~22.62°`

A szinuszt, koszinuszt, tangenst és kotangenst pedig számológépbe kell csak beütni:

`alpha:`

`sin(67.38)=12/13~~0.92`

`cos(67.38)~~0.38`

`tg(67.38)~~2.40`

`ctg(67.38)=1/(tg(67.38))~~0.42`

`beta:`

`sin(22.62)=5/13~~0.38`

`cos(22.62)~~0.92`

`tg(22.62)~~0.42`

`ctg(22.62)~~2.40`

`gamma:`

`sin(90°)=1`

`cos(90°)=0`

`tg(90°)` ilyen nincs

`cot(90°)=0`

`c)`

Például:

`T=(a^2*sinbeta*singamma)/(2sinalpha)`

`T=(12^2*5/13*1)/(2*12/13)=30` `cm^2`

`8.`

`a=16` `cm`

`b=17` `cm`

`a)`

`K=a+b+b`

`K=16+17+17=50` `cm`

`b)`

Ez is kiad egy derékszögű háromszöget:

átfogó a szár
egyik befogó az alap fele
a másik befogó pedig a magasság

`m_a=sqrt(17^2-(16/2)^2)=15` `cm`

`c)`

`T=(a*m_a)/2`

`T=(16*15)/2=120` `cm^2`

`d)`

Legyen akkor a Hérón-képlet:

`s=50/2=25` `cm`

`T=sqrt(25(25-16)(25-17)(25-17))=120` `cm^2`

Itt is az jött ki, tehát jól számoltam!