Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Másodfokú egyenlettel való feladatmegoldás.

583
Derékszögű háromszög, melynek kerülete 24 cm, területe pedig 24 cm². Milyen hosszúak az a,b,c oldalak?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Mérjük az oldalakat centiméterben és legyen `c` az átfogó.

A kerület: `a+b+c=24`
A terület: `(a*b)/2=24`
Pitagorasz: `a^2+b^2=c^2`

Az első egyenletet emeljük négyzetre:
`a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=576`

Az első két tag helyére beírhatjuk a Pitagorasz-tételt, `2ab` helyére pedig a terület négyszeresét:
`2c^2+96+2ac+2bc=576`
`2c^2+2ac+2bc=480`

A bal oldalon minden tagból emeljünk ki `2c`-t:
`2c(c+a+b)=480`

Most ˙`(c+a+b)` helyére írjuk be az első egyenlet alapján 24-et:
`2c*24=480`
`48c=480`
`c=10`

Az egyik oldal meg is van. Az első egyenletből így kiküszöbölhetjük `c`-t:
`a+b=14`

A második egyenletből fejezzük ki a `b` oldalt (`b=48/a`), és helyettesítsük be ebbe az egyenletbe:
`a+48/a=14`
`a^2+48=14a`
`a^2-14a+48=0`

Másodfokú egyenletet kaptunk, melynek megoldásai a megoldóképlet alapján 6 és 8. Ezek közül az egyik az `a` oldal hossza, másik pedig a `b` oldalé.

Tehát a háromszög oldalai: 6 cm, 8 cm és 10 cm.
Módosítva: 2 éve
1