Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Improprius integrálás
kapesmate
kérdése
756
Hogy tudom bizonyítani, hogy a sin(x)/(x^(1/2))-nek létezik az integrálja a [0;végtelen[ intervallumon?...Még szerintem a [0;1]-en tudnám is bizonyítani...de a sin(x)/gyökx néhol nagyobb mint az 1/x...ezért nem értem, hogy minoráns kritérium szerint nem az lenne helyénvaló, hogy akkor a felírt függvény is divergens?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, improprius, integrál, végtelen, korlátos, riemann, minoráns, majoráns, kritérium, konvergens
matek, improprius, integrál, végtelen, korlátos, riemann, minoráns, majoráns, kritérium, konvergens
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
bongolo
{ 
}
megoldása
Nem tudom, tanultátok-e a Dirichlet-kritériumot?
Ha `g(x)` monoton és `lim_(x→∞) g(x) = 0`
valamint ha `|int_a^b f(x) dx| < M` tetszőleges `[a;b]` intervallumon,
akkor `int_a^∞ f(x)g(x)\ dx` konvergens.
Most
`f(x) = sin(x)`
`g(x) = 1/sqrt(x)`
teljesíti a fentieket.
A Dirichlet-kritériumról pl. itt van egy levezetés:
https://math.stackexchange.com/questions/413950/proving-abel-dirichlets-test-for-convergence-of-improper-integrals-using-integr
Ha `g(x)` monoton és `lim_(x→∞) g(x) = 0`
valamint ha `|int_a^b f(x) dx| < M` tetszőleges `[a;b]` intervallumon,
akkor `int_a^∞ f(x)g(x)\ dx` konvergens.
Most
`f(x) = sin(x)`
`g(x) = 1/sqrt(x)`
teljesíti a fentieket.
A Dirichlet-kritériumról pl. itt van egy levezetés:
https://math.stackexchange.com/questions/413950/proving-abel-dirichlets-test-for-convergence-of-improper-integrals-using-integr
1
- Még nem érkezett komment!
AlBundy
{ Polihisztor }
válasza
Bongolo megoldása teljesen jó, én leírok egy alternatívát, ha már foglalkoztam vele.
Nézzük először a (0;1] intervallumot. Itt `1/sqrtx` integrálja konvergens, és ` 1/sqrtx>=|sinx/sqrtx|`, tehát a majoráns kritérium szerint jók vagyunk.
Az [1;∞] intervallumon nem érdemes `1/sqrtx`-szel majorálni, mert annak az integrálja divergens. Ezen az intervallumon alkalmazzunk parciális integrálást: `int u dv=uv-int v du`
Most legyen `u=1/sqrtx=x^(-1/2)` és `dv=sinx`. Innen `v=-cosx` és `du=-1/2x^(-3/2)dx`. Tehát
`int_1^(oo) sinx/sqrtx dx=[-cosx*x^(-1/2)]_1^(oo)-int_1^(oo) 1/2 x^(-3/2) cosx dx`
Az első tag a végtelenben eltűnik (egy korlátos függvény van megszorozva egy nullához tartóval), tehát azzal nincs gond. Az integrál pedig majorálható: `x^(-3/2)>=|x^(-3/2) cosx|`, és tudjuk, hogy `int_1^(oo) x^(-3/2) dx` konvergens, tehát a majoráns kritérium szerint a mi integrálunk is az.
Nézzük először a (0;1] intervallumot. Itt `1/sqrtx` integrálja konvergens, és ` 1/sqrtx>=|sinx/sqrtx|`, tehát a majoráns kritérium szerint jók vagyunk.
Az [1;∞] intervallumon nem érdemes `1/sqrtx`-szel majorálni, mert annak az integrálja divergens. Ezen az intervallumon alkalmazzunk parciális integrálást: `int u dv=uv-int v du`
Most legyen `u=1/sqrtx=x^(-1/2)` és `dv=sinx`. Innen `v=-cosx` és `du=-1/2x^(-3/2)dx`. Tehát
`int_1^(oo) sinx/sqrtx dx=[-cosx*x^(-1/2)]_1^(oo)-int_1^(oo) 1/2 x^(-3/2) cosx dx`
Az első tag a végtelenben eltűnik (egy korlátos függvény van megszorozva egy nullához tartóval), tehát azzal nincs gond. Az integrál pedig majorálható: `x^(-3/2)>=|x^(-3/2) cosx|`, és tudjuk, hogy `int_1^(oo) x^(-3/2) dx` konvergens, tehát a majoráns kritérium szerint a mi integrálunk is az.
0
- Még nem érkezett komment!