`1.`

`4a^(-2)=4*1/(a^2)=4/(a^2)`

`x^0y^(-6)=1/(y^6)`

`(x^(-2))/(y^(-2))=(y^2)/(x^2)`

`((x^(-1)+y^(-1))^(-1))/(x^(-1)y^(-1))=(xy)/(x^(-1)+y^(-1))=(xy)/(1/x+1/y)=(xy)/((x+y)/(xy))=(x^2+y^2)/(x+y)`


`2.`

`1/(256)=2^(-8)`

`1/(a^3)=a^(-3)`

`(a+2b)/(a+2b)^2=1/(a+2b)=(a+2b)^(-1)`

`2/(a^-2)=2a^2`

`((a/b)^(-1))/((b/a)^(-2))=(b/a)/(a/b)^2=b/(a((a^2)/(b^2)))=b/((a^3)/(b^2))=(b^3)/(a^3)`

A többit csak később tudom megcsinálni, de addig ezt elküldöm legalább.

`3.`

`x^3x^(-5)=x^(-2)`

`y^5y^3y^(-9)=y^(-1)`

`(x^2+x^3+x^4)x^(-2)=1+x+x^2`

`(y^4y^(-4))^1000=1^(1000)=1`


`4.`

`sqrt(2)+sqrt(8)=sqrt(2)+sqrt(2^3)=sqrt(2)+2sqrt(2)=3sqrt(2)`

`5sqrt(3)+sqrt(75)-1/2sqrt(147)=5sqrt(3)+sqrt(3*5^2)-1/2*sqrt(3*7^2)=5sqrt(3)+5sqrt(3)-1/2*7sqrt(3)=10sqrt(3)-3.5sqrt(3)=6.5sqrt(3)=(13sqrt(3))/2`

`4sqrt(2)+3sqrt(18)-sqrt(50)=4sqrt(2)+3sqrt(2*3^2)-sqrt(2*5^2)=4sqrt(2)+3*3sqrt(2)-5sqrt(2)=8sqrt(2)`


`5.`

`root(6)(a^5*root(5)(a^6))=root(6)(a^5*aroot(5)(a))=root(6)(a^6root(5)(a))=aroot(6)(root(5)(a))=aroot(30)(a)`

Tehát ez igaz


`root(n)(a^k*sqrt(a))=root(n)(a^k*a^(1/2))=root(n)(a^(k+1/2))`

Ez nem egyenlő a másikkal, tehát nem igaz.


`6.`

`root(3)(3/2)*sqrt(3/2)=root(6)((3/2)^2)*root(6)((3/2)^3)=root(6)((3/2)^5)=root(6)((243)/(32))`

`root(4)(5/2)*root(3)(5/2)=root(12)((5/2)^3)*root(12)((5/2)^4)=root(12)((5/2)^3*(5/2)^4)=root(12)((5/2)^7)=root(12)((78125)/(128))`

`root(3)(1/4)*root(4)(8/3)=root(12)((1/4)^4)*root(12)((8/3)^3)=root(12)((1/4)^4*(8/3)^3)=root(12)(2/27)`


`7.`

`sqrt(2)*(sqrt(2)-root(3)(4)+root(4)(8))`

`sqrt(2)*sqrt(2)-sqrt(2)*root(3)(4)+sqrt(2)*root(4)(8)`

`2-root(6)(2^3)*root(6)(4^2)+root(4)(2^2)*root(4)(8)`

`2-root(6)(2^3*4^2)+root(4)(2^2*8)`

`2-root(6)(128)+root(4)(32)`

`2-root(6)(2^7)+root(4)(2^5)`

`2-2root(6)(2)+2root(4)(2)`