Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek

923
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket:
a)  7x-13 =x-1
b) 9^x+3/2+9=244*3^x
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
a) feladat:

Először tegyük meg a kikötést, hogy a négyzetgyök alatt ne állhasson negatív szám:
`7x-13>=0` vagyis `x>=13/7`

Ezután emeljük négyzetre mindkét oldalt:
`7x-13=x^2-2x+1`

Rendezzük nullára az egyenletet:
`x^2-9x+14=0`

Egy másodfokú egyenletet kaptunk. Ha behelyettesítjük a számokat a megoldóképletbe, azt fogjuk kapni, hogy a megoldások `x=2` és `x=7`. Mindkét szám megfelel a kikötésnek, tehát valóban ez a két megoldás van.

----------

b) feladat:

`9^x+3/2+9=244*3^x`

Vezessünk be egy új változót: legyen `a=3^x`. Írjuk fel az egyenletet `a`-ra! Ehhez azt kell tudni, hogy `9^x=(3^x)^2=a^2`. Tehát:
`a^2+10.5=244a`

Rendezzük nullára:
`a^2-244a+10.5=0`

Tehát másodfokú egyenletet kaptunk `a`-ra. A megoldóképletbe behelyettesítve az együtthatókat, az jön ki, hogy `a= 122+-sqrt(14873.5)`.

De tőlünk nem az `a`-t kérdezték, hanem az `x`-et, tehát még meg kell oldanunk a következő egyenleteket is:
`3^x=122+sqrt(14873.5)`
`3^x=122-sqrt(14873.5)`

A megoldások:
`x_1=log_3 (122+sqrt(14873.5))~~5.004`
`x_2=log_3 (122-sqrt(14873.5))~~-2.863`

Ezek gyanúsan csúnya számok, biztosan jól írtad fel az egyenletet?
0

b) feladat módosítása a kommentek alapján. A kérdező az alábbi egyenletre gondolt:

`9^(x+3/2)+9=244*3^x`

Szedjük szét az első tagot szorzatokra:
`9^x*9^(3/2)+9=244*3^x`

`9^(3/2)=sqrt(9)^3=27`, tehát:

`27*9^x+9=244*3^x`

Vezessünk be egy új változót: legyen `a=3^x`. Írjuk fel az egyenletet `a`-ra! Ehhez azt kell tudni, hogy `9^x=(3^x)^2=a^2`. Tehát:
`27a^2+9=244a`

Rendezzük nullára:
`27a^2-244a+9=0`

Tehát másodfokú egyenletet kaptunk `a`-ra. A megoldóképletbe behelyettesítve az együtthatókat, az jön ki, hogy `a_1=9` és `a_2=1/27`.

De tőlünk nem az `a`-t kérdezték, hanem az `x`-et, tehát még meg kell oldanunk a következő egyenleteket is:
`3^x=9`
`3^x=1/27`

A megoldások:
`x_1=log_3 (9)=2`
`x_2=log_3 (1/27)=-3`
1