Matek 12 pas

`1.`

`AC=6` `cm`
`AB=10` `cm`

`a)`
A Pitagorasz-tétel alapján:
`BC=sqrt(10^2-6^2)=8` `cm`

`b)`
`T=(a*m_a)/2=(ab)/2=(AC*BC)/2`
`T=(6*8)/2=24` `cm^2`

`c)`
Kiszámolom először a belső szögeket:
`gamma=90°`

Ha nem tudod fejből kikeresed a függvénytáblázatban, hogy milyen szögfüggvénnyek vannak derékszögű háromszögben. Pl.:
`sinalpha=a/c=(BC)/(AB)`
`sinalpha=8/10=4/5`
`alpha=sin^(-1)(4/5)≈53.13°`

`beta=180°-90°-53.13°=36.87°`

Külső szögek:
`alpha'=180°-53.13°=126.87°`
`beta'=180°-36.87=143.13°`
`gamma'=180°-90°`

`d)`
A területre felírhatju ezt az összefüggést:
`T=(c*m_c)/2`
Ebben az esetben:
`T=(AB*m_(AB))/2`
A területet pedig ismerjük már:
`24=(10*m_(AB))/2`
`48=10m_(AB)`
`m_(AB)=4.8` `cm`

`e)`
Itt a `T=sr` összefüggést tudjuk használni.
Az `s` a félkerület, az `r` pedig a beírt kör sugara:

`s=(a+b+c)/2`
`s=(AB+AC+BC)/2`
`s=(10+6+8)/2=12` `cm`

`24=12s`
`s=2` `cm`

`f)`
A köréírható kör sugara pont az átmérő fele, azaz:
`R=(AB)/2`
`R=10/2=5` `cm`

A kör területe pedig:
`T=R^2pi`
`T=5^2pi=25pi≈78.5` `cm^2`

`g)`
`(24)/(25pi)*100≈30.5%`

`h)`
Ha az átfogója `15` `cm`, akkor `1.5`-szerese `(15/10=1.5)`
Ezért a befogói is `1.5`-szeresei lesznek:
`6*1.5=9` `cm`
`8*1.5=12` `cm`

A súlyvonalakat pedig a koszinusztétel segítségével tudjuk kiszámolni:

`(s_(AB))^2=(BC)^2+((AB)/2)^2-2(BC)((AB)/2)cosbeta`
tehát:
`s_(AB)=sqrt(12^2+7.5^2-2*12*7.5*cos(36.87°))≈7.5` `cm`

`s_(BC)=sqrt(6^2+9^2-2*6*9*cos(90°))≈10.816` `cm`

`s_(AC)=sqrt(4.5^2+12^2-2*4.5*12*cos(90°))≈12.816` `cm`

`2.`

`AB=10` `cm`
`BC=AD=5` `cm`
`CD=2` `cm`

`a)`
Pitagorasz-tétel, de kell hozzá az egyik befogó (legyen most `x` hossza), akit úgy kapunk meg, hogy:

`x=(AB-CD)/2=(10-2)/2=4` `cm`

És erre már fel lehet írni a magasságot:

`(BC)^2=x^2+m^2`
`m=sqrt((BC)^2-x^2)`
`m=sqrt(5^2-4^2)=3` `cm`

`b)`
`T=(a+c)/2*m`
`T=(AB+CD)/2*m`
`T=(10+2)/2*3=18` `cm^2`

`c)`
Az átlóra (legyen `d`) is felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
`d^2=m^2+(AB-x)^2`
`d=sqrt(3^2+(10-4)^2)=3sqrt(5)≈6.7` `cm`

`e)`
Mivel húrtrapéz ezért két-két egyenlő szögpárja van, elég csak az egyiket kiszámolni.

Az `mBCx` háromszögre felírhatjuk:

`sinalpha=m/(BC)`
`sinalpha=3/5`
`alpha=sin^(-1)(3/5)=36.87`

`beta=(360°-2*36.87)/2=143.13°`

`f)`
`ABC` háromszög:
`AB=10` `cm`
`BC=5` `cm`
`AC=d=6.7` `cm`

A háromszög területét több módon is ki lehet számolni, én most Hérón-képlettel fogom:

`s=(10+5+6.7)/2=10.85` `cm`

`T=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`T=sqrt(10.85(10.85-10)(10.85-5)(10.85-6.7))≈15` `cm^2`


`ACD` háromszög:

`AD=5` `cm`
`CD=2` `cm`
`AC=6.7` `cm`

`s=(5+2+6.7)/2=6.85`

`T=sqrt(6.85(6.85-5)(6.85-2)(6.85-6.7))≈3` `cm^2`

Remélem tudtam segíteni!