Logaritmikus egyenlet

Az a pont a második logaritmusban elgépelés lesz. Felteszem, hogy eredetileg mínusz volt.

Először tegyük meg a kikötéseket, hogy a logaritmusok argumentumában csak pozitív szám állhasson:
`x-2>0`, innen `x>2`
`x^2-8x+16>0`, innen pedig `x!=4`

Majd használjuk a logaritmus azonosságait, és azt, hogy `0=log_3 1`:
`2 log_3 (x-2) + log_3 (x^2-8x+16) = 0`
`2 log_3 (x-2) + log_3 (x^2-8x+16) = log_3 1`
`log_3(x-2)^2+log_3(x^2-8x+16)=log_3 1`
`log_3 [(x-2)^2(x^2-8x+16)]=log_3 1`
`(x-2)^2(x^2-8x+16)=1`
`(x^2-4x+4)(x^2-8x+16)=1`
`x^4-12x^3+52x^2-96x+64=1`
`x^4-12x^3+52x^2-96x+63=0`

Ez egy negyedfokú egyenlet, sajnos nem is hiányos, így jobb híján vagy számítógépes segítséghez lehet fordulni, vagy észre lehet venni, hogy a polinom szorzattá alakítható:
`(x^2-6x+9)(x^2-6x+7)=0`
`(x-3)^2(x^2-6x+7)=0`

Az első zárójelből `x=3` gyök adódik, a másodikból pedig `x=3+sqrt2` és `x=3-sqrt2`. Az utóbbit viszont ki kell zárnunk, mert értéke kisebb 2-nél, ami pedig ütközik a kikötésünkkel. Tehát két megoldás van, `3` és `3+sqrt2`.