Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Logaritmikus egyenletrendszer
csiki.laura2000
kérdése
943
I. log₂log₃(x+y)=1
II. lgx+lgy=3lg2
Ez lenne a feladat. Valaki tudja, hogy kellene megoldani?
II. lgx+lgy=3lg2
Ez lenne a feladat. Valaki tudja, hogy kellene megoldani?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Kikötés: `x>0` és `y>0` (ekkor `x+y>0` automatikusan teljesül)
Nézzük az első egyenletet. Írjuk fel az 1-et logaritmusként:
`log_2 log_3 (x+y)=log_2 2`
A logaritmusfüggvény kölcsönös egyértelműsége miatt:
`log_3 (x+y)=2`
Alkalmazzuk megint az első trükköt, most a 2-t írjuk fel logaritmusként:
`log_3 (x+y)=log_3 9`
Vagyis:
`x+y=9`
A második egyenlethez használjuk a logaritmus azonosságait:
`log x + log y =3log 2`
`log(xy)=3log 2`
`log(xy)=log 2^3`
`xy=2^3`
`xy=8`
`y=8/x`
Tehát az alábbi formára egyszerűsítettük az egyenletrendszert:
`x+y=9`
`y=8/x`
Helyettesítsük be a másodikat az elsőbe:
`x+8/x=9`
`x^2+8=9x`
`x^2-9x+8=0`
Ennek két megoldása van:
`x_1=8`, ebből `y_1=1`
`x_2=1`, ebből `y_2=8`
Mindkét megoldás megfelel a kikötéseknek, tehát valóban megoldások.
Nézzük az első egyenletet. Írjuk fel az 1-et logaritmusként:
`log_2 log_3 (x+y)=log_2 2`
A logaritmusfüggvény kölcsönös egyértelműsége miatt:
`log_3 (x+y)=2`
Alkalmazzuk megint az első trükköt, most a 2-t írjuk fel logaritmusként:
`log_3 (x+y)=log_3 9`
Vagyis:
`x+y=9`
A második egyenlethez használjuk a logaritmus azonosságait:
`log x + log y =3log 2`
`log(xy)=3log 2`
`log(xy)=log 2^3`
`xy=2^3`
`xy=8`
`y=8/x`
Tehát az alábbi formára egyszerűsítettük az egyenletrendszert:
`x+y=9`
`y=8/x`
Helyettesítsük be a másodikat az elsőbe:
`x+8/x=9`
`x^2+8=9x`
`x^2-9x+8=0`
Ennek két megoldása van:
`x_1=8`, ebből `y_1=1`
`x_2=1`, ebből `y_2=8`
Mindkét megoldás megfelel a kikötéseknek, tehát valóban megoldások.
0
- Még nem érkezett komment!