Ez egy elég beszédes ábra:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Lim_sup_example_5.png

A kék pontok egy sorozat elemei. Az elég világos, hogy ez a sorozat nem konvergens, így a sima lim nem létezik.

Ha a sorozat elemeinek teljes halmazát nézzük, akkor látszik, hogy ennek a halmaznak a szuprémuma 1,7 körül van, az infimuma pedig -1,4 körül. Ha viszont a halmazból elhagyjuk a sorozat első ~100 elemét, akkor ennek a részhalmaznak a szuprémuma már csak kb. 1,3, infimuma pedig kb. -1,1. És így tovább: minél több elemet hagyunk el a sorozat elejéről, annál kisebb lesz a maradék elemek halmazának szuprémuma, és annál nagyobb az infimuma. Viszont a szuprémum nem csökken, az infimum pedig nem nő minden határon túl, hanem jelen esetben konvergálnak 1-hez, ill. -1-hez. Ezek lesznek a limsup és liminf határértékek.

Más megfogalmazásban:
Bár a sorozat nem konvergens, ki lehet belőle választani konvergens részsorozatokat. A limsup az így kapható lehető legnagyobb, a liminf pedig a lehető legkisebb határérték. Ha például csak azokat az elemeket tekintjük, amelyek ennek a csökkenő amplitúdójú szinusznak a lokális maximumaihoz tartoznak, akkor egy immár konvergens sorozatot kapunk, amely felülről tart az 1-hez. Mivel az eredeti sorozatból nem tudunk kiválasztani olyan részsorozatot, amelynek a határértéke ennél nagyobb lenne, a limsup 1.