Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Segítségkérés matematikában 3. feladat
Törölt
kérdése
168
Egy kőgúla 30 cm élű szabályos tetraéder. Mindegyik lapját 3 cm-es vastagságban le kell csiszolni. Mennyivel csökken a tömege? Sűrűsége 2,8 kg/dm³.
Egy szabályos tetraéder 4 darab szabályos háromszögből áll. Vagyis az alap területe:
`T_a = sqrt(3)/4*a^2` (mivel az egyenlő oldalú háromszög magassága `m=sqrt(3)/2 a`)
A tetraéder magasságát pedig úgy kapjuk, hogy tudjuk, hogy az alap középpontja fölött lesz a tetraéder csúcsa, mert szabályos az alakzat. Az egyenlő oldalú háromszög középpontja pedig a súlypontja is, a súlypont pedig `2/3` és `1/3` részre osztja a súlyvonalat, ami az egyenlő oldalú háromszögnél a magasság is. A magasságot pedig ismerjük. Vagyis ha a tetraéder keresztmetszetét nézzük, akkor a tetraéder magassága, ami legyen `h` kétféleképpen is háromszöget alkot a keresztmetszetben. Az egyikben az alap magasságának 2/3-ával, `2/3 m`, és az oldaléllel, `a`, ami ugyanannyi, mint az alapél, vagyis `a`. A másikban pedig az alap magasságának 1/3-ával, `1/3 m` és az oldallap magasságával, `m`, ami ugyanannyi, mint az alap magassága, mert minden oldal ugyanakkora. Vagyis
`(2/3 m)^2+h^2 = a^2 => h = sqrt(a^2-4/9 m^2)`
Illetve
`(1/3 m)^2+h^2 = m^2 => h = sqrt(m^2-1/9 m^2)`
És mivel tudjuk, hogy `m=sqrt(3)/2*a`, vagyis `m^2 = 3/4 a^2`, ezért
`h = sqrt(a^2-4/9 m^2) = sqrt(a^2-4/9*3/4 a^2) = sqrt(a^2-1/3 a^2) = sqrt(2/3 a^2) = sqrt(2)/sqrt(3) a = sqrt(6)/3 a`
Illetve
`h = sqrt(m^2-1/9 m^2) = sqrt(3/4 a^2-1/9*3/4 a^2) = sqrt(9/12 a^2-1/12 a^2) = sqrt(8/12 a^2) = sqrt(2/3 a^2) = sqrt(6)/3 a`
Láthatjuk, hogy mindkét módon ugyanannyi jön ki. Vagyis a térfogat:
`V = (T_a*h)/3 = 1/3*sqrt(3)/4*a^2*sqrt(6)/3 a = sqrt(2)/12 a^3`
A tömeg pedig:
`m = rho*V`
Vagyis az eredeti esetben a tömeg: (mivel a sűrűségben deciméméter van, így át kell váltanunk a mértékegységeinket)
`m_"kő" = "2,8"*sqrt(2)/12*3^3 = "6,3" sqrt 2 ~~ "8,910 kg"`
(Itt feltételeztem, hogy a csiszolás miatt csak egyszerűen a csiszolás mélységével csökkennek az oldalak. Ha mégsem ez a helyzet, akkor tanácstalan vagyok.)
`m_"csiszolt" = "2,8"*sqrt(2)/12*"2,7"^3 = "4,5927" sqrt 2 ~~ "6,495 kg"`
Hú, nagyon ráuntam erre a feladatra félúton... ennél keresve sem lehet találni unalmasabb feladatot.
Na mindegy, ha bármi kérdésed van nyugodtan szólj!
Módosítva: 1 éve
0
Ármós Csaba:
Megszenvedtél ezzel a példával!
1 éve0
Epyxoid:
Igen, a tetraéder magasságánál legszívesebben félbehagytam volna, de nagynehezen befejeztem.
1 éve0
Epyxoid:
És még csak nem is biztos hogy jó, mert nem feltételenül a csiszolás mélységével lesznek rövidebbek az oldalak. Istenem ez a feladat...
1 éve0