Segítségkérés matematikában 3. feladat

`a = "30 cm" = "3 dm, " Delta d = "3 cm" = "0,3 dm, " rho = "2,8"\ "kg"/"dm"^3`

Egy szabályos tetraéder 4 darab szabályos háromszögből áll. Vagyis az alap területe:
`T_a = sqrt(3)/4*a^2` (mivel az egyenlő oldalú háromszög magassága `m=sqrt(3)/2 a`)

A tetraéder magasságát pedig úgy kapjuk, hogy tudjuk, hogy az alap középpontja fölött lesz a tetraéder csúcsa, mert szabályos az alakzat. Az egyenlő oldalú háromszög középpontja pedig a súlypontja is, a súlypont pedig `2/3` és `1/3` részre osztja a súlyvonalat, ami az egyenlő oldalú háromszögnél a magasság is. A magasságot pedig ismerjük. Vagyis ha a tetraéder keresztmetszetét nézzük, akkor a tetraéder magassága, ami legyen `h` kétféleképpen is háromszöget alkot a keresztmetszetben. Az egyikben az alap magasságának 2/3-ával, `2/3 m`, és az oldaléllel, `a`, ami ugyanannyi, mint az alapél, vagyis `a`. A másikban pedig az alap magasságának 1/3-ával, `1/3 m` és az oldallap magasságával, `m`, ami ugyanannyi, mint az alap magassága, mert minden oldal ugyanakkora. Vagyis
`(2/3 m)^2+h^2 = a^2 => h = sqrt(a^2-4/9 m^2)`
Illetve
`(1/3 m)^2+h^2 = m^2 => h = sqrt(m^2-1/9 m^2)`

És mivel tudjuk, hogy `m=sqrt(3)/2*a`, vagyis `m^2 = 3/4 a^2`, ezért
`h = sqrt(a^2-4/9 m^2) = sqrt(a^2-4/9*3/4 a^2) = sqrt(a^2-1/3 a^2) = sqrt(2/3 a^2) = sqrt(2)/sqrt(3) a = sqrt(6)/3 a`
Illetve
`h = sqrt(m^2-1/9 m^2) = sqrt(3/4 a^2-1/9*3/4 a^2) = sqrt(9/12 a^2-1/12 a^2) = sqrt(8/12 a^2) = sqrt(2/3 a^2) = sqrt(6)/3 a`

Láthatjuk, hogy mindkét módon ugyanannyi jön ki. Vagyis a térfogat:
`V = (T_a*h)/3 = 1/3*sqrt(3)/4*a^2*sqrt(6)/3 a = sqrt(2)/12 a^3`

A tömeg pedig:
`m = rho*V`

Vagyis az eredeti esetben a tömeg: (mivel a sűrűségben deciméméter van, így át kell váltanunk a mértékegységeinket)
`m_"kő" = "2,8"*sqrt(2)/12*3^3 = "6,3" sqrt 2 ~~ "8,910 kg"`

(Itt feltételeztem, hogy a csiszolás miatt csak egyszerűen a csiszolás mélységével csökkennek az oldalak. Ha mégsem ez a helyzet, akkor tanácstalan vagyok.)
`m_"csiszolt" = "2,8"*sqrt(2)/12*"2,7"^3 = "4,5927" sqrt 2 ~~ "6,495 kg"`

Tehát
`m_"kő"-m_"csiszolt" = "6,3" sqrt 2-"4,5927" sqrt 2 = "1,7073" sqrt 2 ~~ "2,414 kg"`

Hú, nagyon ráuntam erre a feladatra félúton... ennél keresve sem lehet találni unalmasabb feladatot.

Na mindegy, ha bármi kérdésed van nyugodtan szólj!