Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Segítségkérés matematikában 1. feladat
Törölt
kérdése
355
Anna kristálygömböket szeretne adni ajándékba a nagymamájának. Ezeket a gömböket egy 8 oldalú 45 cm magasságú egyenes hasáb alakú ajándékdobozba szeretné elhelyezni melyről, tudjuk hogy alapjának egymással szemben lévő átlóinak hossza 12 cm hosszúságú. Adja meg az ajándékdoboz felszínét és térfogatát valamint a testátlót! Adja meg maximálisan hány darab gömböt tud elhelyezni ebben a dobozban valamint mekkora a kitöltetlen terület melyet hungarocell golyókkal kíván majd kitölteni a biztonság érdekében.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Epyxoid
{ Tanár }
válasza
`n = 8", " h = "45 cm, " f = "12 cm"`
Mivel páros oldalú szabályos sokszög az alap, így annak mindegyik szemközti csúcsánál ugyanakkora az átlója és az átmegy az alakzat középpontján és felezik egymást. Ezzel a középponttal és két egymás melletti csúccsal egy háromszöget kapunk, amiben két oldal azonos, ez az átló fele, - legyen `f//2` -, a harmadik oldal pedig az alaplap oldalél, ami legyen `a`. Illetve ilyen háromszögekből 8 darab lesz, amiknek közös csúcsa a középpont, így ott a síkot 8 egyenlő részre osztjuk, vagyis ezen egyenlő szárú háromszögeknek a szárszöge: `alpha = 360/n = 360/8 = 45°`.
Ha ezt a háromszöget megfelezzük a szimmetriatengelye mentén, akkor két derékszögű háromszöget kapunk, amiben a fenti szög és az oldalél is csak fele akkora lesz, vagyis
`sin{:alpha/2:} = (a//2)/(f//2) = a/f => a = f*sin{:alpha/2:} = 12*sin "22,5°" = "4,592 cm"`
Vagyis az alaplap területe:
`T_a = cancel 8_4*((f//2)^2*sin alpha)/cancel 2 = cancel 4*f^2/cancel 4*sin alpha = f^2 sin alpha = 12^2*sin 45° = 72 sqrt 2 ~~ "101,823 cm"^2`
A felszín:
`F = T_a+P = 72 sqrt 2+8*(a*h) = 72 sqrt 2+8*12*sin "22,5°"*45 = 72 sqrt 2+"4 320"*sin "22,5°" ~~ "1 755,016 cm"^2`
A térfogat:
`V = T_a*h = 72 sqrt 2*45 = "3 240" sqrt 2 ~~ "4 582,052 cm"^3`
Gondolom a leghosszabb testátló a kérdés, ami a megadott lapátlóhoz tartozik.
`d^2 = f^2+h^2 => d = sqrt(f^2+h^2) = sqrt(12^2+45^2) = sqrt "2 169" = 3 sqrt 241 ~~ "46,573 cm"`
A golyók sugara legyen közkívánatra akkora, hogy éppen beleférjenek a dobozba. Ekkor éppen érintkezik a kör a sokszög oldalaival, vagyis az alap oldalainak távolsága az alap középpontjától lesz a kör sugara. Ez a távolság a sokszögből alkotott háromszögeknek a magassága. Hasonló módon számítható mint a sokszög oldaléle:
`cos{:alpha/2:} = r/(f//2) => r = f/2*cos{:alpha/2:} = 6*cos "22,5°" ~~ "5,543 cm"`
Egy gömb a sugár kétszerese magasságú, tehát:
`h/(2r) = "4,059"`
Vagyis 4 gömb fér el a dobozban.
Egy kristálygömb térfogata:
`V_"gömb" = (4 r^3 pi)/3 ~~ "713,491 cm"^3`
Tehát:
`V-4*V_"gömb" ~~ "1 728,089 cm"^3`
Mivel páros oldalú szabályos sokszög az alap, így annak mindegyik szemközti csúcsánál ugyanakkora az átlója és az átmegy az alakzat középpontján és felezik egymást. Ezzel a középponttal és két egymás melletti csúccsal egy háromszöget kapunk, amiben két oldal azonos, ez az átló fele, - legyen `f//2` -, a harmadik oldal pedig az alaplap oldalél, ami legyen `a`. Illetve ilyen háromszögekből 8 darab lesz, amiknek közös csúcsa a középpont, így ott a síkot 8 egyenlő részre osztjuk, vagyis ezen egyenlő szárú háromszögeknek a szárszöge: `alpha = 360/n = 360/8 = 45°`.
Ha ezt a háromszöget megfelezzük a szimmetriatengelye mentén, akkor két derékszögű háromszöget kapunk, amiben a fenti szög és az oldalél is csak fele akkora lesz, vagyis
`sin{:alpha/2:} = (a//2)/(f//2) = a/f => a = f*sin{:alpha/2:} = 12*sin "22,5°" = "4,592 cm"`
Vagyis az alaplap területe:
`T_a = cancel 8_4*((f//2)^2*sin alpha)/cancel 2 = cancel 4*f^2/cancel 4*sin alpha = f^2 sin alpha = 12^2*sin 45° = 72 sqrt 2 ~~ "101,823 cm"^2`
A felszín:
`F = T_a+P = 72 sqrt 2+8*(a*h) = 72 sqrt 2+8*12*sin "22,5°"*45 = 72 sqrt 2+"4 320"*sin "22,5°" ~~ "1 755,016 cm"^2`
A térfogat:
`V = T_a*h = 72 sqrt 2*45 = "3 240" sqrt 2 ~~ "4 582,052 cm"^3`
Gondolom a leghosszabb testátló a kérdés, ami a megadott lapátlóhoz tartozik.
`d^2 = f^2+h^2 => d = sqrt(f^2+h^2) = sqrt(12^2+45^2) = sqrt "2 169" = 3 sqrt 241 ~~ "46,573 cm"`
A golyók sugara legyen közkívánatra akkora, hogy éppen beleférjenek a dobozba. Ekkor éppen érintkezik a kör a sokszög oldalaival, vagyis az alap oldalainak távolsága az alap középpontjától lesz a kör sugara. Ez a távolság a sokszögből alkotott háromszögeknek a magassága. Hasonló módon számítható mint a sokszög oldaléle:
`cos{:alpha/2:} = r/(f//2) => r = f/2*cos{:alpha/2:} = 6*cos "22,5°" ~~ "5,543 cm"`
Egy gömb a sugár kétszerese magasságú, tehát:
`h/(2r) = "4,059"`
Vagyis 4 gömb fér el a dobozban.
Egy kristálygömb térfogata:
`V_"gömb" = (4 r^3 pi)/3 ~~ "713,491 cm"^3`
Tehát:
`V-4*V_"gömb" ~~ "1 728,089 cm"^3`
Módosítva: 3 éve
1
-
SPmásikprofil: Szerintem kikell számolni a golyóknaka a dolgat is. a két egymással szemben lévő oldal távolsága lesz a gömbök sugara. 3 éve 0
-
SPmásikprofil: Vágod mintha egy 8 szögbe írnánk egy kört 3 éve 0
-
Epyxoid: Értem, de ez nincs meghatározva és nem szeretnék egy tipp alapján fölöslegesen számolgatni. 3 éve 0
-
SPmásikprofil: Sehogy máshogy nem megoldható csak így. Gondolom nem véletlenül nem adta meg. Így nehezebb a feladat. 3 éve 0
-
Törölt: Nem adtak meg adatot a gömbökről. Kikell számolni őket. 3 éve 0
-
Epyxoid: Ha semmi kézzelfogható dolgunk nincs a gömbökről, akkor lehetnek 1 miliméteresektől 35 méteresek is. De jó, akkor legyenek a sokszögbe írható kör sugarúak. 3 éve 0
-
SPmásikprofil: Az egész térfogatát kéne elosztani a gömbök térfogatával hogy megkapd hány fér bele nem? 3 éve 0
-
Epyxoid: Nem, mert a gömbök szilárd testek. Akkor kéne a térfogatokat osztani ha vízről volna szó, ami ki tudja tölteni a rendelkezésre álló teret. 3 éve 0