`n = 8", " h = "45 cm, " f = "12 cm"`

Mivel páros oldalú szabályos sokszög az alap, így annak mindegyik szemközti csúcsánál ugyanakkora az átlója és az átmegy az alakzat középpontján és felezik egymást. Ezzel a középponttal és két egymás melletti csúccsal egy háromszöget kapunk, amiben két oldal azonos, ez az átló fele, - legyen `f//2` -, a harmadik oldal pedig az alaplap oldalél, ami legyen `a`. Illetve ilyen háromszögekből 8 darab lesz, amiknek közös csúcsa a középpont, így ott a síkot 8 egyenlő részre osztjuk, vagyis ezen egyenlő szárú háromszögeknek a szárszöge: `alpha = 360/n = 360/8 = 45°`.

Ha ezt a háromszöget megfelezzük a szimmetriatengelye mentén, akkor két derékszögű háromszöget kapunk, amiben a fenti szög és az oldalél is csak fele akkora lesz, vagyis
`sin{:alpha/2:} = (a//2)/(f//2) = a/f => a = f*sin{:alpha/2:} = 12*sin "22,5°" = "4,592 cm"`

Vagyis az alaplap területe:
`T_a = cancel 8_4*((f//2)^2*sin alpha)/cancel 2 = cancel 4*f^2/cancel 4*sin alpha = f^2 sin alpha = 12^2*sin 45° = 72 sqrt 2 ~~ "101,823 cm"^2`

A felszín:
`F = T_a+P = 72 sqrt 2+8*(a*h) = 72 sqrt 2+8*12*sin "22,5°"*45 = 72 sqrt 2+"4 320"*sin "22,5°" ~~ "1 755,016 cm"^2`

A térfogat:
`V = T_a*h = 72 sqrt 2*45 = "3 240" sqrt 2 ~~ "4 582,052 cm"^3`

Gondolom a leghosszabb testátló a kérdés, ami a megadott lapátlóhoz tartozik.
`d^2 = f^2+h^2 => d = sqrt(f^2+h^2) = sqrt(12^2+45^2) = sqrt "2 169" = 3 sqrt 241 ~~ "46,573 cm"`

A golyók sugara legyen közkívánatra akkora, hogy éppen beleférjenek a dobozba. Ekkor éppen érintkezik a kör a sokszög oldalaival, vagyis az alap oldalainak távolsága az alap középpontjától lesz a kör sugara. Ez a távolság a sokszögből alkotott háromszögeknek a magassága. Hasonló módon számítható mint a sokszög oldaléle:
`cos{:alpha/2:} = r/(f//2) => r = f/2*cos{:alpha/2:} = 6*cos "22,5°" ~~ "5,543 cm"`

Egy gömb a sugár kétszerese magasságú, tehát:
`h/(2r) = "4,059"`
Vagyis 4 gömb fér el a dobozban.

Egy kristálygömb térfogata:
`V_"gömb" = (4 r^3 pi)/3 ~~ "713,491 cm"^3`

Tehát:
`V-4*V_"gömb" ~~ "1 728,089 cm"^3`