A nyitott csonka kúp itt azt akarja jelenteni, hogy kb így néz ki az edény:
https://www.google.com/search?q=fangli&tbm=isch

Szerintem így már elég szemléletes a dolog.

Legyen a csonka kúp kisebb alapjának átmérője `c`, a sugara `r`, a nagyobbik alapjának átmérője `a`, a sugara pedig `R`, illetve a csonka kúp alkotója legyen `b`.
`c = "18 cm, " a = "24 cm, " b = "6 cm, " r = c/2 = "9 cm, " R = a/2 = "12 cm"`

a) Itt az a kérdés, hogy ennek a nyitott alakzatnak mekkora a külső felszíne. Ez a felszín a kisebbik alap területéből és a palástból áll. A palástot pedig úgy kaphatjuk meg, hogy a teljes kúp palástjából kivonjuk a csonka kúpból hiányzó kiskúp palástját.

Legyen mondjuk a kis kúp alkotója `d`. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy észrevesszük, hogy a csonka kúp az valójában egy szimmetrikus trapéz megforgatva a szimmetriatengelye körül. Na most: mivel szimmetrikus a trapéz, ezért a nagyalap ugyanannyival lesz hosszabb, mint a kisalap az egyik oldalt, mint a másik oldalt. Én ezt a hossz különbséget `x`-nek nevezem és úgy kapjuk, hogy:
`x = (a-c)/2 = (24-18)/2 = 6/2 = "3 cm"`

Ez az `x` a trapéz mindkét oldalán egy-egy derékszögű háromszöget alkot a trapéz magasságával - ami a csonka kúpunk magassága is - és a trapéz szárával. Ebben szükségünk lesz az alapon fekvő szögre - legyen `alpha` -, mert a teljes kúpnak is ez lesz az alapon fekvő szöge, illetve a kis kiegészítő kúpban is jelen lesz ez a szög, aminek kell majd az alkotója.
`cos alpha = x/b => alpha = cos^"-1"(x/b) = cos^"-1"(3/6) = 60°`

A kiskúpban is jelen lesz ez a szög, mert a kiskúp alapja párhuzamos a teljes kúp alapjával, illetve az alkotója egybeesik a csonka kúpéval, mivel, hogy annak a kiegészítése. A kiskúp keresztmetszete egy egyenlő szárú háromszög, aminek ismerjük az alapját (`c`), illetve az azonos szögeit (`alpha`). Ha ezt az egyenlő szárú háromszöget kettévágjuk a szimmetriatengelye mentén, akkor két derékszögű háromszöget kapunk, amire felírhatjuk a szög koszinuszát, hogy megkapjuk a keresett `d` alkotót:
`cos alpha = (c//2)/d = r/d => d = r/cos alpha = 9/(cos 60°) = "18 cm"`

Vagyis
`F = T_"kis alap"+P = T_"kis alap"+P_"teljes"-P_"kiskúp" ``=`` r^2 pi+R(b+d) pi-rd pi ``=`` 9^2 pi+12*24 pi-9*18 pi = 207 pi ~~ "650,310 cm"^2`

b) Itt a csonka kúp térfogata a kérdés. Ezt ugyanúgy kapjuk, hogy a teljes kúp térfogatából kivonva a kis kiegészítő kúp térfogatát. Ehhez először is tudnunk kell a csonka kúp magasságát, ami legyen `m_1`. Abban a háromszögben, amiben az `alpha`-t is számoltuk felírhatunk egy Pitagoraszt:
`x^2+m_1^2 = b^2 => m_1 = sqrt(b^2-x^2) = sqrt(6^2-3^2) = sqrt 27 = 3 sqrt 3 ~~ "5,196 cm"`

Illetve a korábban vizsgált kiskúpban lévő derékszögű háromszögben felírhatjuk az `alpha` tangensét, hogy megkapjuk ennek a kiegészítő kúpnak a magasságát, ami legyen `m_2`:
`"tg"\ alpha = m_2/(c//2) = m_2/r => m_2 = r\ "tg"\ alpha = 9\ "tg"\ 60° = 9 sqrt 3 = "15,588 cm"`

És most már végre felírhatjuk a térfogatot:
`V = V_"teljes"-V_"kiskúp" = (T_"nagy alap"*(m_1+m_2))/3-(T_"kis alap"*m_2)/3 ``=`` (R^2 pi*(m_1+m_2))/3-(r^2 pi*m_2)/3 ``=`` (12^2 pi*(3 sqrt 3+9 sqrt 3))/3-(9^2 pi*9 sqrt 3)/3 ``=`` 12^2 pi*4 sqrt 3-9^2 pi*3 sqrt 3 ~~ "1 811,986 cm"^3`

c) Oké, ez szemetebb feladat, mint amilyennek első ránézésre hittem. Mindenesetre nem annyira bonyolult ez sem, de megint új dolgokat kell kiszámolnunk. Ha félig van valami ebben a "serpenyőben", az azt jelenti, hogy a trapézunk középvonalát keressük, vagyis a két alaptól egyenlő távolságra lévő szakaszt. Ez a két alapnak a számtani közepe lesz. Rengetegféleképpen be lehet ezt látni. Nyilván a legpraktikusabb, ha ezt már jó előre tudja az ember. Ez amiatt van, hogy a trapéz két alapja párhuzamos. Legyen ez a középvonal mondjuk `k`, a kúp ebben a síkban lévő sugarát pedig nevezzük `r_k`-nak jobb híján, ami csak szimplán `k` fele:
`k = (a+c)/2 = (24+18)/2 = "21 cm"`

`r_k = k/2 = "10,5 cm"` (egyébként `r_k = (R+r)/2`)

Tehát itt most arról van szó, hogy megint csak egy térfogatot keresünk, de most úgy, hogy a csonka kúp nagyalapja helyett ezt a középvonalat használjuk, illetve az ehhez tartozó teljes kúpból vonjuk majd le a kiegészítő kiskúpot, hogy megkapjuk a térfogatot, vagyis ezúttal a teljes magasság nem `m_1+m_2` lesz, hanem `m_1/2+m_2`, mert csak a csonka kúp fele magassága kell ezúttal, vagyis:
`V_"fél" = (T_"közép alap"*(m_1/2+m_2))/3-(T_"kis alap"*m_2)/3 ``=`` (r_k^2 pi*(m_1/2+m_2))/3-(r^2 pi*m_2)/3 ``=`` ("10,5"^2 pi*((3 sqrt 3)/2+9 sqrt 3))/3-(9^2 pi*9 sqrt 3)/3 ``=`` "10,5"^2 pi*(7 sqrt 3)/2-9^2 pi*3 sqrt 3 ~~ "777, 440 cm"^3`

Őőőőm, nem semmi feladat volt ez így késő este. Kb mindegyik alpontja egy teljes értékű feladattal ér fel. Nem volt semmi.