Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Határérték
kapesmate
kérdése
940
Mennyi lim x tart végtelen (π/2-arctg(x))^(1/x)?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, Tangens, határérték, é, lim, végtelen, l'hospital, szavály, deriválás, konvergál
matek, Tangens, határérték, é, lim, végtelen, l'hospital, szavály, deriválás, konvergál
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
`lim_(x→∞) (π/2-"arctg"(x))^(1/x)`
Ez `0^0` eset.
`e^"log"` trükk:
`lim_(x→∞) (π/2-"arctg"(x))^(1/x) = lim_(x→∞) e^(1/x\ log(π/2-"arctg"(x)))`
`=e^(lim_(x→∞) 1/x\ log(π/2-"arctg"(x)))`
Vagyis ez a határérték kellene:
`lim_(x→∞) (log(π/2-"arctg"(x)))/x`
ami `∞/∞` alakú tört, lehet L'Hospital-t használni.
A nevező egyszerű eset, annak 1 a deriváltja.
Számláló: `d/(dx) log(π/2-"arctg"(x)) = 1/(π/2-"arctg"(x))·1/(x^2+1) = (1/(x^2+1))/(π/2-"arctg"(x))`
Ez lett a teljes törtből is (mert a nevező 1).
Még mindig `0/0` esetünk van, kell megint LH-zni:
számláló: `d/(dx) 1/(x^2+1) = (-2x)/(x^2+1)^2`
nevező: `d/(dx) π/2-"arctg"(x) = -1/(x^2+1)`
vagyis a tört: `(2x)/(x^2+1)`
aminek már egyszerű a határértéke: 0
Tehát az eredetinek a határértéke `e^0 = 1`
Ez `0^0` eset.
`e^"log"` trükk:
`lim_(x→∞) (π/2-"arctg"(x))^(1/x) = lim_(x→∞) e^(1/x\ log(π/2-"arctg"(x)))`
`=e^(lim_(x→∞) 1/x\ log(π/2-"arctg"(x)))`
Vagyis ez a határérték kellene:
`lim_(x→∞) (log(π/2-"arctg"(x)))/x`
ami `∞/∞` alakú tört, lehet L'Hospital-t használni.
A nevező egyszerű eset, annak 1 a deriváltja.
Számláló: `d/(dx) log(π/2-"arctg"(x)) = 1/(π/2-"arctg"(x))·1/(x^2+1) = (1/(x^2+1))/(π/2-"arctg"(x))`
Ez lett a teljes törtből is (mert a nevező 1).
Még mindig `0/0` esetünk van, kell megint LH-zni:
számláló: `d/(dx) 1/(x^2+1) = (-2x)/(x^2+1)^2`
nevező: `d/(dx) π/2-"arctg"(x) = -1/(x^2+1)`
vagyis a tört: `(2x)/(x^2+1)`
aminek már egyszerű a határértéke: 0
Tehát az eredetinek a határértéke `e^0 = 1`
0
- Még nem érkezett komment!